Matematyka.pl

Rozwiąż układ równań w zależności od parametru \(\displaystyle{ p\in \mathbb{R}}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases} (2+p)x+2py+z=2p\\ (3+p)x+p^{2}y+z=-p \\ x+py+(1-p)z=p \\ (1-p)x-p^{2}y-z=p \end{cases}}\)

Uzasadnij dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ p}\)
\(\displaystyle{ (2p,-p,p,p)\in lin{(2+p,3+p,1,1-p),(2p,p^{2},p,-p^{2}),(1,1,1-p,-1)}}\)

Czy jest jakaś inna metoda rozwiązania tego układu bez liczenia wyznacznika? Ponieważ przy stosowaniu rozwinięcia Laplace'a dostaje okropne równanie.

Do drugiej części zadania nie mam pojęcia jak się zabrać.

A jak chcesz liczyc wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ 4\times 3}\) ?

\(\displaystyle{ v\in \mathrm{lin}(a,b,c) \Leftrightarrow \exists \alpha,\beta,\gamma: v=\alpha a+\beta b+\gamma c}\)

Przyjrzyj się temu układowi równań

Wyznacznik macierzy uzupełnionej, z dopisaną kolumną.

I co Ci to da?

Że jak wyznacznik jest równy \(\displaystyle{ 0}\) to MOŻE istnieć rozwiązanie co trzeba sprawdzić podstawiając, a gdy jest różny to układ jest sprzeczny.

OK,

zamiast rozwijać poprzekształcaj trochę...

np. dodaj czwarte równanie do drugiego...

Układ równań można zapisać w postaci macierzy i skorzystać z metody eliminacji Gaussa

Wyliczyłem sobie że dla \(\displaystyle{ p \neq 0,-1,\frac{1}{2}}\) układ nie ma rozwiązania, dla \(\displaystyle{ p=0}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań, a dla \(\displaystyle{ p=-1 p=\frac{1}{2}}\) ma jedno rozwiązanie.

I teraz przechodzę do drugiej części:
\(\displaystyle{ (2p,-p,p,p)\in lin\{(2+p,3+p,1,1-p),(2p,p^{2},p,-p^{2}),(1,1,1-p,-1)\}}\)
\(\displaystyle{ (2p,-p,p,p)= \alpha (2+p,3+p,1,1-p)+\beta(2p,p^{2},p,-p^{2})+\gamma(1,1,1-p,-1)}\)
Teraz zapisuje to macierzowo i widzę, że to ten sam układ. Więc czy dobrze rozumiem, że będzie to kombinacja liniowa dla \(\displaystyle{ p=-1, p=\frac{1}{2}}\), ponieważ wtedy ten układ posiada rozwiązanie?

Nie sprawdzałem poprawności pierwszej części. Drugie prawie ok (rozwiązanie nie musi byc jedyne)

a4karo pisze:Nie sprawdzałem poprawności pierwszej części. Drugie prawie ok (rozwiązanie nie musi byc jedyne)

Nie rozumiem tej jedyności. Mógłbym prosić o wskazówkę?

Jak ukłąd ma nieskonczenie wiele rozwiązan, to w szczególności ma jedno, więc kolumna po prawej będzie należała należał do przestrzeni rozpietej na kolumnach po lewej

a4karo pisze:Jak ukłąd ma nieskonczenie wiele rozwiązan, to w szczególności ma jedno, więc kolumna po prawej będzie należała należał do przestrzeni rozpietej na kolumnach po lewej

Więc podsumowując w drugiej części odrzucam jedynie te p, dla których układ nie ma rozwiązania?

tak