Obliczyć granice...

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Dziura-LBN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Obliczyć granice...

Post autor: Dziura-LBN » 4 wrz 2007, o 17:45

Witam, mógłby ktoś pomóc? Nie wiem jak ruszyć te trzy przykłady. Chociaż jakby ktoś wskazał kierunek działania...
\(\displaystyle{ $1) \lim_{x\to\infty} (\sin{\sqrt{x+1}} - \sin{\sqrt{x}})\\$
$2) \lim_{x\to\infty} \sin{\sqrt{x+2}} \sin{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})}\\$
$3) \lim_{x\to1} (1-x)\tan{\frac{\pi x}{2}}$}\)

Z góry dzięki!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Obliczyć granice...

Post autor: max » 4 wrz 2007, o 18:15

1) i 2) łatwo zrobić korzystając z:
\(\displaystyle{ \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}}\)
co łatwo pokazać posługując się wzorami skróconego mnożenia.
W 3) podstaw \(\displaystyle{ t = 1 - x}\), rozpisz tangensa na sinus i cosinus, a następnie skorzystaj z wzorów redukcyjnych dla funkcji trygonometrycznych i z granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1}\)

Dziura-LBN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Obliczyć granice...

Post autor: Dziura-LBN » 4 wrz 2007, o 18:33

hmmm... ale jak w 1) i 2) zastosowac rownosc z wzorow skroconego mnozenia? tylko w przykladzie 2) w tym drugim sinusie jest to mozliwe bo cale to wyrazenie jest w sinusie, ale w pierwszym jak i w obu sinusach z przykladu 1) wyrazenie to wystepuje w postaci czastkowej, wiec trzeba jakos doprowadzic te granice do postaci w ktorej bede mogl podstawic ta rownosc... nie wiem wlasnie jak to zrobic... zarowno wzor na roznice sinosow (przyklad 1), jak i wzor na roznice argumentow sinusa (przyklad 2) nie daja mi postaci, w ktorej bede mogl zastosowac twoja wskazowke... chyba, ze cos zle rozumiem...

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Obliczyć granice...

Post autor: max » 4 wrz 2007, o 18:36

\(\displaystyle{ \sin a - \sin b = 2\sin \frac{a - b}{2}\cos \frac{a + b}{2}\\
a = \sqrt{x + 1}\\
b = \sqrt{x}\\
\sin \frac{a - b}{2} = \ldots}\)

Dalej wystarczy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\sin x = 0}\) i z twierdzenia o trzech funkcjach.

Dziura-LBN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Obliczyć granice...

Post autor: Dziura-LBN » 4 wrz 2007, o 19:09

rozumiem... czyli w obu przykladach pozostaje mi iloczyn, w ktorym jeden skladnik to ten sinus, ktory dazy do zera... a co z tymi drugimi skladnikami, czyli kolejno:
\(\displaystyle{ $\cos{\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}}\\$
$\sin{\sqrt{x+2}}\\$}\)


Obydwie granice nie istnieja... czy sam fakt ze sa ograniczone przez 1 i -1 i ze drugim skladnikiem iloczynu jest 0 pozwala mi sadzic, ze granice w obu przykladach rownaja sie 0??

Gdzie tw. o trzech funkcjach?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Obliczyć granice...

Post autor: max » 4 wrz 2007, o 19:17

Twierdzenie o trzech funkcjach stosujesz właśnie po to, aby wykorzystać tę ograniczoność, np:
\(\displaystyle{ 0 qslant|\sin\sqrt{x + 2}|\leqslant 1}\)
więc:
\(\displaystyle{ 0 qslant ft|\sin\sqrt{x + 2}\sin\frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}\right|\leqslant ft|\sin\frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}}\right|}\)
i obydwa ograniczenia zbiegają do zera, a z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to a}|f(x)| = 0}\) wynika, od razu z definicji granicy, że również \(\displaystyle{ \lim_{x\to a} f(x) = 0}\)

Dziura-LBN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 17:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Obliczyć granice...

Post autor: Dziura-LBN » 4 wrz 2007, o 19:24

ok... dzieki bardzo!

ODPOWIEDZ