Matematyka.pl

Określmy relację \(\displaystyle{ \equiv}\) następująco:

\(\displaystyle{ f\equiv g}\) jeśli ciągi \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) różnią się na skończonej liczbie miejsc.

Prosiłbym o podpowiedzi w jaki sposób pokazać, że jest to relacja równoważności.

Użyj rozumu i definicji relacji równoważności. Pokaż co robisz i jak.

Zwrotność jest oczywista dla mnie, gdyż \(\displaystyle{ f\equiv f}\) to oba ciągi są równe, więc się zgadza.

Symetryczność też wydaje się oczywista, gdyż jeśli \(\displaystyle{ f\equiv g}\) to oba ciągi są równe sobie od pewnego elementu. Zatem \(\displaystyle{ g\equiv f}\) jest zrozumiałe.

Mam problem z ostatnim warunkiem. I nie mogę znaleźć tutaj żadnego pomysłu. Tak samo ze sposobem zapisania tego w sposób matematyczny.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ f\equiv g}\) oraz \(\displaystyle{ g\equiv h}\). Wówczas \(\displaystyle{ f(n)=g(n)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN\setminus A}\) dla pewnego skończonego zbioru \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ g(n)=h(n)}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN\setminus B}\) dla pewnego skończonego zbioru \(\displaystyle{ B}\). Zauważmy, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN\setminus (A\cup B)}\) mamy \(\displaystyle{ f(n)=g(n)=h(n)}\) oraz oczywiście \(\displaystyle{ A\cup B}\) jest zbiorem skończonym.