Matematyka.pl

Staw zarasta rzęsą każdego dnia dwa razy więcej niż dnia poprzedniego po pięciu
dniach rzęsą zarosła połowa stawu po ilu dniach staw zarośnie cały?

Jakieś własne przemyślenia, próby rozwiązania?

Brak informacji o początkowym „zarośnięciu” stawu.

Ale ta informacja jest zbędna

Tak w pamięci:
Jeżeli w piątym dniu zarosło pół stawu, a w kolejnym ma być zarośnięta dwa razy większe powierzchnia, to w tym kolejnym, który będzie szóstym dniem zarastania stawu zarośnie cała powierzchnia.
\(\displaystyle{ q=2, \ a_1= \frac{1}{2^6}}\), a reszta wg wiadomego wzoru.

kruszewski pisze:Tak w pamięci:
Jeżeli w piątym dniu zarosło pół stawu, a w kolejnym ma być zarośnięta dwa razy większe powierzchnia, to w tym kolejnym, który będzie szóstym dniem zarastania stawu zarośnie cała powierzchnia.
\(\displaystyle{ q=2, \ a_1= \frac{1}{2^6}}\), a reszta wg wiadomego wzoru.

wg tego co Pan napisał w dniu szóstym zarosło \(\displaystyle{ \frac{1}{64}+\frac{1}{32}+\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2} = \frac{63}{64}}\) powierzchni. Drobna uwaga: w piątym dniu nie zarosło pół stawu - pół stawu zarosło po pięciu dniach.

a4karo pisze:Ale ta informacja jest zbędna

wg mnie ta informacja nie jest zbędna bo myślę, że powinna być jakaś wartość początkowa różna od 0, np gdyby na początku było jezioro było zarośnięte w połowie a po piątym dniu dalej by było w połowie to wg mnie to jezioro nigdy nie zarośnie. Prawda jest taka, że nie rozumiem po co wnioskować na podstawie poprzednika (dwa razy więcej niż w dniu poprzednim), jeśli nic nie wiem o początku, w sumie taka analogia do indukcji - podstawe zawsze musiałem udowodnić/pokazać, że zachodzi.

A4Karo ma rację.
Można wyliczyć, że po pierwszym dniu staw był zarośnięty w \(\displaystyle{ 1/62}\) .
W piątym dniu zarósł w \(\displaystyle{ 16/62=0,2581}\) , a następnego zarósłby w \(\displaystyle{ 32/62=0,5161}\) tylko że stawu braknie.
Zarośnie cały po \(\displaystyle{ \log_263=5,9773}\) dniach.

a4karo pisze:Ale ta informacja jest zbędna

wg mnie ta informacja nie jest zbędna bo myślę, że powinna być jakaś wartość początkowa różna od 0, np gdyby na początku było jezioro było zarośnięte w połowie a po piątym dniu dalej by było w połowie to wg mnie to jezioro nigdy nie zarośnie. Prawda jest taka, że nie rozumiem po co wnioskować na podstawie poprzednika (dwa razy więcej niż w dniu poprzednim), jeśli nic nie wiem o początku, w sumie taka analogia do indukcji - podstawe zawsze musiałem udowodnić/pokazać, że zachodzi.[/quote]

Sformułowanie zadania podane przez autorkę dopuszcza niejednoznaczna interpretację:

Staw zarasta rzęsą każdego dnia dwa razy więcej niż dnia poprzedniego po pięciu
dniach rzęsą zarosła połowa stawu po ilu dniach staw zarośnie cały?

Autorka przekopiowałą zadanie z ... dniego-po/ nawet nie pokusiwszy sie o poprawienie fatalnej interpunkcji.

Można to interpretować tak:

Jeżeli \(\displaystyle{ a_n}\) oznacza powierzchnie zarośnietą po \(\displaystyle{ n}\)-tym dniu, to \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=2(a_n-a_{n-1})}\). Wtedy to zadanie z łamigłówki zamienia się troszke skomplikowany rachunek bez jednoznacznego rozwiązania. Co więcej: ta interpretacja pozwala również na rozwiązania, w których powierzchnia zarośnięta maleje . Ale zważywszy, że zadanie z portalu gimnazjalnego - nie o to w nim chodzi.

Klasyczne sformułowania (a znależć je można w wielu źródłach) mówi, że powierzchnia zarośnięta podwaja się do dobę i wtedy nie ma żadnych wątpliwości: dziś jest pół, jutro bedzie dwa razy więcej, czyli całość.
I nie ma tutaj żadnego dodawania wyrazów ciągu geometrycznego: pytanie brzmi: który wyraz ciągu geometrycznego będzie równy \(\displaystyle{ 1}\), gdy piąty jest równy \(\displaystyle{ 1/2}\) a iloraz jest równy \(\displaystyle{ 2}\)

Temat zadania został zredagowany językiem raczej potocznym, a nie oficjalnym, ale moim zdaniem nie nastręcza problemów z interpretacją.
Zawracam uwagę, że nie jest powiedziane każdego dnia staw jest zarośnięty dwukrotnie bardziej niż dnia poprzedniego. Użyte sformułowanie zarasta (czas niedokonany) dla mnie oznacza, że dzienne przyrosty zarośniętej powierzchni stawu z dnia na dzień się podwajają i chodzi o sumę ciągu geometrycznego. Potwierdza to również odpowiedź Joanny10, która to zadanie opublikowała na .
To że zadanie jest w części gimnazjalnej ww. portalu (a są tam różne poziomy edukacyjne) jest moim zdanie bez znaczenia. Prawdopodobnie Madzia_900, jako 26-latka, nie jest gimnazjalistką.

xxmikolajx pisze:
wg tego co Pan napisał w dniu szóstym zarosło \(\displaystyle{ \frac{1}{64}+\frac{1}{32}+\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2} = \frac{63}{64}}\) powierzchni.

Rozwój rzęsy w takim tempie jaki zachodzi na powierzchni tego stawu nie jest opisany postępem arytmetycznym a geometrycznym i pytanie jest o to, który kolejny wyraz tego postępu będzie równy jeden.

Drobna uwaga: w piątym dniu nie zarosło pół stawu - pół stawu zarosło po pięciu dniach

Słuszna uwaga nie tylko językowa.
W.Kr.