Całka podwójna ograniczona półsferą i stożkiem

[meron1122]

Oblicz objętość bryły ograniczonej dwoma powierzchniami
\(\displaystyle{ z= \sqrt{ 8 - x^{2} - y^{2}} \\
z= \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\)

Ogólnie pierwsza to półsfera, drugi to stożek, liczę pomiędzy nimi, wyznaczam sobie z obydwu równań wyprowadzam sobie koło na płaszczyźnie x i y
\(\displaystyle{ \sqrt{ 8 - x^{2} - y^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}}\)
.....
\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = 4}\)
Dziedzina w współrzędnych biegunowych.
\(\displaystyle{ 0 \le r \le 2\\
0 \le \varphi \le 2 \pi}\)

Całka
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} \sqrt{ 8 - x^{2} - y^{2}} - \sqrt{x^{2} + y^{2}} dxdy}\)
Dalej zamiast x i y wrzucam podstawienia biegunowe, dorzucam Jacobiana, i dalej mam problem z ruszeniem całki(Drugi pierwiastek się redukuje, ale pierwszego ruszyć nie mogę).
Dlatego pytanie, czy ten cały tok przedstawiony powyżej jest poprawny? Jeżeli nie, prosiłbym o naprowadzenie co robię źle.

[NogaWeza]

Żeby być ścisłym to moduł z Jacobianu, ale w tym przypadku to bez znaczenia. Rozumowanie jest według mnie poprawne, pozostaje tylko doliczyć całkę do końca.

[Slup]

Robię według Twojego pomysłu, bo wydaje się najsensowniejszy. Wprowadzamy współrzędne cylindryczne:
\(\displaystyle{ x=r\cos(\alpha)}\)
\(\displaystyle{ y=r\sin(\alpha)}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha\in [0,2\pi)}\) oraz \(\displaystyle{ r\geq 0}\)
Wtedy pierwsza powierzchnia ma równanie:
\(\displaystyle{ z=\sqrt{8-r^2}}\)
a druga:
\(\displaystyle{ z=r}\)
Zatem chcemy, żeby:
\(\displaystyle{ r\leq \sqrt{8-r^2}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ r^2\leq 4}\)
Teraz całkujemy:
\(\displaystyle{ \iiint_{\sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq \sqrt{8-x^2-y^2},x^2+y^2\leq 4}dzdxdy=\iiint_{r\leq z\leq \sqrt{8-r^2},r^2\leq 4,\alpha\in [0,2\pi)}rdzdrd\alpha=}\)
\(\displaystyle{ =\int_0^2\int_0^{2\pi}\int_r^{\sqrt{8-r^2}}rdzd\alpha=\int_0^2\int_0^{2\pi}r\sqrt{8-r^2}-r^2d\alpha dr}\)
\(\displaystyle{ =2\pi\int_0^2r\sqrt{8-r^2}-r^2dr=\pi \int^2_02r\sqrt{8-r^2}dr-2\pi\int^2_0r^2dr=}\)
\(\displaystyle{ =\pi \int^4_0\sqrt{8-t}dt-2\pi[\frac{r^3}{3}]^2_0=\pi\int^4_8-\sqrt{s}ds-\frac{16\pi}{3}=}\)
\(\displaystyle{ =\pi \int^8_4\sqrt{s}ds-\frac{16\pi}{3}=\pi \left[\frac{s^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]^8_4-\frac{16\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}(\sqrt{2^9}-\sqrt{2^6})-\frac{16\pi}{3}=\frac{32\pi}{3}\sqrt{2}-\frac{16\pi}{3}-\frac{16\pi}{3}=\frac{32\pi}{3}\sqrt{2}-\frac{32\pi}{3}=\frac{32\pi}{3}(\sqrt{2}-1)}\)
czy jakoś tak.

[a4karo]

A nie prościej to policzyć całką pojedynczą na objętość bryły obrotowej? Wystarczy sobie uświadomić co obracamy dookoła osi \(\displaystyle{ z}\)

[Slup]

Proponuję, żebyś pracowicie policzył. Wtedy przekonamy się czy jest prościej. Jestem bardzo ciekaw.

[a4karo]

1.jpg (31.91 KiB) Przejrzano 114 razy

Ten niebiesko-czerwony twór obracamy wokół osi \(\displaystyle{ Oz}\)

Objetośc szukanej bryły jest zatem równa
\(\displaystyle{ 2\pi\left(\int_0^2 z^2dz+\int_2^{\sqrt8} (8-z^2)dz\right)}\)

Obliczenie tej całki nie jest trudne

[Slup]

Mnie to przekonuje. Dziękuję .