Matematyka.pl

Witam,
Zadanie: wyznaczyć bazę jądra i obrazu
\(\displaystyle{ L: R ^{3} \rightarrow R ^{3}, L(x,y,z)=(x+z, 2x-y+z, x+2y-z)}\)

\(\displaystyle{ Im: lin(1,2,1) (0,-1,2) (1,1,-1)}\)

Natomiast w przypadku \(\displaystyle{ Ker}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+z=0\\2x-y+z=0\\x+2y-z=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-z\\-2z-y+z=0\\x+2y-z=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-z\\y=z\\x+2y-z=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-z\\y=z\\-z+2z-z=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 0=0}\)

Co w takim przypadku?


\(\displaystyle{ Ker=lin(-1,1,1)}\)?

Wg mnie jest błąd w obliczeniach. Nie \(\displaystyle{ y=z}\), ale \(\displaystyle{ y=-z}\). Wychodzi chyba, że \(\displaystyle{ \mathrm ker L=(0)}\).

Ale teraz nasuwa się pytanie, czy \(\displaystyle{ \mathrm ker L=(0)}\), czy to jest możliwe.

Oczywiście, że jest możliwe. Z twierdzenia o wymiarach jądra i obrazu: skoro wymiar obrazu jest równy \(\displaystyle{ 3}\), to wymiar jądra musi być równy \(\displaystyle{ 0}\).