Pochodne dwóch zmiennych

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Maniek_GiG
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 12:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik

Pochodne dwóch zmiennych

Post autor: Maniek_GiG » 4 wrz 2007, o 12:44

Witam mam problem otóż nie wiem jak policzyć pochodną po x dla równania:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \log_x y}\) gdzie x jest podstawa logarytmu

LaTeX http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=28951 luka52
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2007, o 13:57 przez Maniek_GiG, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Pochodne dwóch zmiennych

Post autor: Emiel Regis » 4 wrz 2007, o 13:10

\(\displaystyle{ f_x \left( x,y \right) = \left( \frac{ \ln y }{ \ln x } \right) _x=-\frac{ \ln a }{x \left( \ln x \right) ^{2}}}\)
Ostatnio zmieniony 20 wrz 2011, o 10:06 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Maniek_GiG
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 12:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik

Pochodne dwóch zmiennych

Post autor: Maniek_GiG » 4 wrz 2007, o 15:05

zakradł Ci się błąd natury raczej technicznej;) zamiast a mialobyc y... następne zadania:

\(\displaystyle{ f \left( x,y \right) =\sqrt[x] {x}^{y}}\)
\(\displaystyle{ f \left( x,y \right) =\ln \left( x+\sqrt \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right) \right)}\) x i y pod jednym pierwiastkiem;)
\(\displaystyle{ f \left( x,y \right) = \left( \frac{x}{y} \right) ^n \\
f \left( x,y \right) =xy e^{-x^2}}\)


poproszę o rozwiązanie po każdej z niewiadomych, a zarazem przepraszam za mojego Latexa z którym dopiero raczkuje;)
Ostatnio zmieniony 20 wrz 2011, o 10:07 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

macieq44
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 91
Rejestracja: 22 paź 2009, o 21:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1 raz

Pochodne dwóch zmiennych

Post autor: macieq44 » 20 wrz 2011, o 01:29

\(\displaystyle{ f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y}\\}\)

licząc pochodną \(\displaystyle{ f(x,y)=\sqrt[x]{x}^{y}}\) po x, należy zastosować pewne podstawienie:
\(\displaystyle{ x= e^{\ln{x}}}\)

wówczas otrzymujemy (oznaczmy funkcję f(x,y), jako z):
\(\displaystyle{ z=\sqrt[x]{x}^{y}=x^{ \frac{y}{x}}={\left( e^{\ln{x}}\right)}^{\frac{y}{x}}=e^{ \frac{y\ln{x}}{x}} \\}\)
i teraz podstawiamy:
\(\displaystyle{ z=e^u\\ u=\frac{y\ln{x}}{x}\\ \frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=\frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}u}\cdot \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}\\ \frac{ \mbox{d}u }{\mbox{d}x}= \frac{\left( y\ln{x}\right)'x-y\ln{x}\left( x\right)' }{x^2}= \frac{y-y\ln{x}}{x^2} \\ \frac{ \mbox{d}z }{\mbox{d}x}=e^{u}\cdot \frac{y-y\ln{x}}{x^2}}\)

zauważmy, iż \(\displaystyle{ e^u=x^{\frac{y}{x}}}\)

daje to nam ostatecznie:
\(\displaystyle{ f'_{x}(x,y)=x^{\frac{y}{x}-2}\cdot\left( y-y\ln{x}\right)}\)

Żeby obliczyć pochodną po y, wystarczy użyć wzoru dla pochodnej funkcji wykładniczej. ;)
Winno wyjść:
\(\displaystyle{ f'_{y}(x,y)=\frac{1}{x}\ln{x}\sqrt[x]{x^y}}\)

PS Pomimo tego, że temat sprzed 4 lat, to może komuś się to przyda :)

Koryfeusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 86
Rejestracja: 1 paź 2011, o 00:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 16 razy

Pochodne dwóch zmiennych

Post autor: Koryfeusz » 2 paź 2011, o 18:11

Z definicji logarytmu:

\(\displaystyle{ f= \log _{x}y \Leftrightarrow x ^{f}=y}\)

Obustronne zlogarytmowanie przy podstawie e daje: \(\displaystyle{ \ln (x ^{f}) = \ln (y) \Leftrightarrow f \cdot \ln(x)=\ln(y) \Leftrightarrow f= \frac{\ln(y)}{\ln(x)}}\)

Takie wyprowadzenie wzoru na zamianę podstawy logarytmu.

Stąd bezpośrednio:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x } = \frac{0 \cdot \n(x)-\ln(y) \cdot \frac{1}{x} }{ \ln ^ {2} (x) } = - \frac{\ln(y)}{x \cdot \ln ^ {2}(x)} \\ \\ \frac{ \partial f}{ \partial y} = \frac{1}{y \cdot \ln(x)}}\)
Ostatnio zmieniony 2 paź 2011, o 18:59 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 Instrukcji LaTeX-a.

ODPOWIEDZ