kilka zadań z PP

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
ggx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 10:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznan
Podziękował: 5 razy

kilka zadań z PP

Post autor: ggx » 4 wrz 2007, o 11:57

Proszę o rozwiązanie kilku zadań. Każda osoba, którą pytam podaje inny wynik, a ja nie jestem pewny swoich rozwiązań.

1. obliczyć \(\displaystyle{ y''+y' = cos2x}\)
2. obliczyć gradient \(\displaystyle{ e^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}}\)
3. obliczyć moment obszaru ograniczonego liniami \(\displaystyle{ x=2; y=0; y=x^3}\)
4. obliczyć promień dla \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{n} n!}{(2n)!} x^{n}}\)
5. obliczyć Pracę siły \(\displaystyle{ F=[x+y^{2}, x^{2}+y]}\) po łuku \(\displaystyle{ y=x^{3}}\) od A[0,0] do B[1,1]
6. Dane jest pole wektorowe \(\displaystyle{ F[\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}; \frac{2}{y}- \frac{x}{y^{2}}]}\) . Sprawdzić czy pole wektorowe jest polem potencjalnym
7. obliczyć 1/4 masy koła o równaniu \(\displaystyle{ y^{2} + x^{2} = R^{2}}\) (z całki podwójnej)

Lekko poprawiłem zapis. luka52
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2007, o 20:36 przez ggx, łącznie zmieniany 3 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

kilka zadań z PP

Post autor: luka52 » 4 wrz 2007, o 14:24

ad 2.
\(\displaystyle{ \nabla ft( e^{\sqrt{x^2 + y^2}} \right) = ft[ \frac{x e^{\sqrt{x^2 + y^2}}}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \, \frac{y e^{\sqrt{x^2 + y^2}}}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right]}\)

ad 3.
Moment statyczny czy bezwładności

ad 6.
\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial y} ft( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = -y^{-2}\\
\frac{\partial}{\partial x} ft( \frac{2}{y} - \frac{x}{y^2} \right) = - y^{-2}}\)

Czyli pole to jest polem potencjalnym

ad 7.
Zakładam, że gęstość koła jest stała.
Wtedy:
\(\displaystyle{ M = \rho t\limits_0^{\pi /2} \, \mbox{d}\theta t\limits_0^R r \, \mbox{d}r = \frac{\rho \pi R^2}{4}}\)

ggx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 10:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznan
Podziękował: 5 razy

kilka zadań z PP

Post autor: ggx » 4 wrz 2007, o 14:40

ad 3. Statyczny, zapomniałem dopisać.
ad 7. Gęstość stała. Mógłbyś wytłumaczyć i rozpisać rozwiązanie?

Dzięki za odpowiedzi i poprawki.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

kilka zadań z PP

Post autor: luka52 » 4 wrz 2007, o 15:05

ad 7.
Gęstość jest stała więc można ją wyłączyć przed całki. Same całki to pole ćwiartki koła we wsp. biegunowych - promień zmienia się od 0 do R, a kąt od 0 do pi/2 - tak jak w ćwiartce koła.

ad 3.
No dobrze, ale względem czego jeszcze należy ten moment statyczny obliczyć

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

kilka zadań z PP

Post autor: Amon-Ra » 4 wrz 2007, o 20:34

Ad 4. Możesz się posłużyć definicją promienia zbieżności:

\(\displaystyle{ R=\limsup_{n\to\infty }\frac{1}{\lambda_n} \\ \lambda_n = \sqrt[n]{|a_n|}}\)

\(\displaystyle{ a_n}\) to oczywiście n-ty wyraz ciągu, z którym związany jest szereg funkcyjny. Po skorzystaniu np. z twierdzenia o trzech ciągach otrzymasz \(\displaystyle{ \lambda\to 0}\) i przez to nieskończony promień zbieżności, stąd szereg funkcyjny jest zbieżny \(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{R}}}\).

Ad 5. Praca to całka krzywoliniowa:

\(\displaystyle{ W=\int_s \vec{F}\circ d\vec{s}}\)

Ale \(\displaystyle{ y=x^3}\), zatem \(\displaystyle{ d\vec{s}=\left[ dx, 3x^2dx \right]}\) oraz:

\(\displaystyle{ W=\int_{x_1}^{x_2}\left[ x+x^6, \ x^2+x^3]\circ ft[ 1, \ 3x^2\right] dx}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

kilka zadań z PP

Post autor: max » 5 wrz 2007, o 11:57

Amon-Ra pisze:Ad 4. Możesz się posłużyć definicją promienia zbieżności:

\(\displaystyle{ R=\limsup_{n\to\infty }\frac{1}{\lambda_n} \\ \lambda_n = \sqrt[n]{|a_n|}}\)
Raczej \(\displaystyle{ R =\liminf_{n\to } \frac{1}{\lambda_{n}}}\)
Nie jest to jednak definicja promienia zbieżności, tylko twierdzenie Cauchy-ego-Hadamarda, które z tej definicji wynika.
Promień zbieżności szeregu postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{n = k}^{\infty}a_{n}x^{n}}\)
definiuje się jako kres górny przedziału, w którym szereg ten jest zbieżny.

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

kilka zadań z PP

Post autor: Amon-Ra » 5 wrz 2007, o 12:17

Owszem, niemniej jednak wzór jest poprawny i może być wykorzystany do obliczenia promienia, czemu chyba nie zaprzeczysz .

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

kilka zadań z PP

Post autor: max » 5 wrz 2007, o 12:27

Nie chcę, aby powstały jakieś niejasności dla autora tematu, więc napiszę tak:
\(\displaystyle{ R = \liminf_{n\to } \frac{1}{\lambda_{n}}}\)
ten wzór jest poprawny i pomocny przy obliczaniu promienia zbieżności.
Pozdrawiam

ODPOWIEDZ