Dla jakich parametrów układ równań nie posiada rozwiązań?

[michalj143]

Zbadać dla jakich parametrów \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) układ równań nie posiada rozwiązań.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \beta x+2y-z=0\\2x+y- \alpha z=2\\x-2y-z=1\\3x-2y+z=1\end{cases}}\)

Robiłem to tak:

\(\displaystyle{ R \begin{bmatrix} \beta &2&-1\\2&1&- \alpha \\1&-2&-1\\3&-2&1\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ \neq}\)\(\displaystyle{ R \begin{bmatrix} \beta &2&-1&0\\2&1&- \alpha &2\\1&-2&-1&1\\3&-2&1&1\end{bmatrix}}\)

Wyznacznik macierzy uzupełnionej wyszedł mi:
\(\displaystyle{ detA(U)=4 \alpha -2 \beta +4 \alpha \beta -2}\)
A rząd macierzy głównej to maksimum 3?
Nie wiem, co z tym dalej począć. Może jest na to jakiś sposób? Z góry dziękuję za pomoc.

[kerajs]

\(\displaystyle{ det(U)=(4 \alpha -2)( \beta+1)}\)

dla \(\displaystyle{ \alpha \neq \frac{1}{2} \wedge \beta \neq -1}\) rząd uzupełnionej to cztery. Układ nie ma rozwiązania.

Dodatkowo sprawdź rząd macierzy głównej dla
a) \(\displaystyle{ \alpha =\frac{1}{2}}\)
b)\(\displaystyle{ \beta =-1}\)

[michalj143]

Jak sprawdzić rząd macierzy głównej dla \(\displaystyle{ \beta =-1}\), jeśli wciąż będziemy mieli tam parametr \(\displaystyle{ \alpha}\) ? Możemy w tej macierzy znaleźć wtedy co najmniej 4 przypadki uzależnione od alfy, kiedy rząd będzie równy 3 albo 2. A co z takimi przypadkami, że na przykład rząd macierzy głównej to 2, a macierzy uzupełnionej 3 lub 4? Albo rząd uzupełnionej to 2, a głównej 3?

[kerajs]

Właśnie to należy sprawdzić i ustalić co się dzieje przy np. b)\(\displaystyle{ \beta =-1}\) i różnych wartościach parametru \(\displaystyle{ \alpha}\) .
Ale ... wychodzi mi inny wyznacznik z macierzy dołączonej
\(\displaystyle{ det(U)=-10 \beta +4 \alpha -18}\).
Wtedy układ nie ma rozwiązania dla \(\displaystyle{ \alpha \neq \frac{5 \beta +9}{2}}\)
Wstawiam do układu \(\displaystyle{ \alpha = \frac{5 \beta +9}{2}}\) i drugi wiersz wychodzi mi jako zależny od pozostałych. Skreślam go i badam powstały układ.
Jest on oznaczony dla \(\displaystyle{ \alpha = \frac{5 \beta +9}{2} \wedge \beta \in \RR \setminus \left\{ -3\right\}}\) , a sprzeczny dla \(\displaystyle{ \alpha =-3 \wedge \beta =-3}\) .

Oczywiście przelicz to jeszcze raz.

[michalj143]

Ok, dziękuję za pomoc.