Udowodnij, że licza jest niewymierna

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
salieri
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 3 wrz 2007, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 7 razy

Udowodnij, że licza jest niewymierna

Post autor: salieri » 3 wrz 2007, o 21:46

Witam, mam prośbę, czy ktoś mógłby pomóc mi z tym zadaniem:

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) + \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) + \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) jest liczbą niewymierną.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6476
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Udowodnij, że licza jest niewymierna

Post autor: mol_ksiazkowy » 3 wrz 2007, o 21:58

Jesli \(\displaystyle{ w=\sqrt{2}}\) + \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) + \(\displaystyle{ \sqrt{5} Q}\) , to \(\displaystyle{ w- \sqrt{5}}\) = \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) + \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) , po opdniesieni u do kwadratu, :
\(\displaystyle{ v =2\sqrt{6}+2\sqrt{5}w=w^2 Q}\) , tj \(\displaystyle{ v^2 = 24 + 20w^2 +8w\sqrt{30} Q}\) sprz.
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2007, o 02:52 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 2 razy.

pawelq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 5 mar 2007, o 18:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 2 razy

Udowodnij, że licza jest niewymierna

Post autor: pawelq » 4 wrz 2007, o 11:46

Znajdz wielomian minimalny tej liczbym jesli stopien tego wielominianu >1 to liczba jest niewymierna

salieri
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 3 wrz 2007, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 7 razy

Udowodnij, że licza jest niewymierna

Post autor: salieri » 4 wrz 2007, o 16:12

co do pierwszej odpowiedzi, prosiłbym o trochę głębsze wytłumaczenie:
rozumiem samo przekształcenie, ale dlaczego potem linijkę :
\(\displaystyle{ v =2\sqrt{6}+2\sqrt{5}w=w^2 Q}\)
podnosimy do kwadratu ? dlaczego wprowadzamy nową zmienną "v" ?


@pawelq zastanowię się nad Twoją poradą i jeśli będę miał jakieś problemy to się dopytam

Awatar użytkownika
DEXiu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1174
Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno
Pomógł: 69 razy

Udowodnij, że licza jest niewymierna

Post autor: DEXiu » 4 wrz 2007, o 17:22

\(\displaystyle{ v}\) wprowadzamy tylko dla wygody Nie ma to innego logicznego uzasadnienia. Ale jeśli Ci jest wygodniej zostać przy \(\displaystyle{ w^{2}}\) i \(\displaystyle{ w^{4}}\) to nie ma problemu

salieri
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 3 wrz 2007, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 7 razy

Udowodnij, że licza jest niewymierna

Post autor: salieri » 4 wrz 2007, o 20:22

dobrze, ale dlaczego miałbym te wyrażenie jeszcze raz potęgować ?
dlaczego ma to prowadzić do sprzeczności ?

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Udowodnij, że licza jest niewymierna

Post autor: Piotr Rutkowski » 4 wrz 2007, o 20:34

Po prostu jeżeli \(\displaystyle{ w=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\), to także liczba \(\displaystyle{ w^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ w^{4}}\) byłaby wymierna, a nie jest

salieri
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 3 wrz 2007, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 7 razy

Udowodnij, że licza jest niewymierna

Post autor: salieri » 4 wrz 2007, o 20:56

dobrze, rozumiem, że jeśli liczba jest wymierna to jej kolejne potęgi też będą wymierne, ale czy ktoś mógłby mi wyjaśnić gdzie w tym równaniu można dostrzec sprzeczność ?

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Udowodnij, że licza jest niewymierna

Post autor: Piotr Rutkowski » 4 wrz 2007, o 21:04

Zauważ, że nasze \(\displaystyle{ v^{2}}\) nie należy do liczb wymiernych, bo \(\displaystyle{ \sqrt{30}}\) nie jest liczbą wymierną.

salieri
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 3 wrz 2007, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 7 razy

Udowodnij, że licza jest niewymierna

Post autor: salieri » 4 wrz 2007, o 21:34

ale odpowiadając w ten sposób, że wynik nie jest liczbą wymierną bo \(\displaystyle{ \sqrt{30}}\) nie jest liczbą wymierną, można by nie liczyć nic i powiedzieć, że suma nie jest wymierna bo jej składowe nie są liczbami wymiernymi ...

pewnie masz rację, ale proszę postaraj się mi to jaśniej wytłumaczyć

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6476
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Udowodnij, że licza jest niewymierna

Post autor: mol_ksiazkowy » 5 wrz 2007, o 01:10

a wiec Po prostu, załozylismy ze w jest l. wymierna i... doszlismy
do sprzeczności , czyli zroblilismy tutaj dowod nie wprost
ps suma dwóch liczb niewymiernych moze byc wymierna,
np.:
\(\displaystyle{ (1-\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2})=2}\)

salieri
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 3 wrz 2007, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 7 razy

Udowodnij, że licza jest niewymierna

Post autor: salieri » 6 wrz 2007, o 15:21

aha, czyli jeśli doprowadzę równanie do takiej postaci, że TYLKO jedna z liczb które sumuję będzie niewymierna to wynik będzie zawsze niewymierny ?

Awatar użytkownika
DEXiu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1174
Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno
Pomógł: 69 razy

Udowodnij, że licza jest niewymierna

Post autor: DEXiu » 6 wrz 2007, o 18:10

Tak.

salieri
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 3 wrz 2007, o 21:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 7 razy

Udowodnij, że licza jest niewymierna

Post autor: salieri » 6 wrz 2007, o 19:23

dziękuję wszystkim bardzo i przepraszam, że to tak długo trwało

arpa007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 948
Rejestracja: 24 mar 2007, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 235 razy

Udowodnij, że licza jest niewymierna

Post autor: arpa007 » 8 wrz 2007, o 18:30

czemu w-√5=√3+√2 podnieslicie do potegi w sposob (w-√5)�=(√3+√2)� ??
a nie w�-(√5)�=(√3)�+(√2)� ??

ODPOWIEDZ