Obliczyć objętość bryły

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
hasacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 25 gru 2006, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy

Obliczyć objętość bryły

Post autor: hasacz » 3 wrz 2007, o 20:41

Gdzie tutaj robie błąd bo odp niechce mi sie zgodzić z odp.z książki:

Znaleść objętość bryły ograniczonej płaszczyzną \(\displaystyle{ Oxy}\), powierzchniami \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-4z^{2}=0 , x^{2}+y^{2}-8x=0 ??}\)

Oto moje obliczenia:

1.Przekształcam równania do postaci:

\(\displaystyle{ z=\sqrt{{\frac{x^{2}}{4}}+\frac{y^{2}}{4}}}}}\)
\(\displaystyle{ (x-4)^{2}+y^{2}=4^{2}}\)

2.Podstawiam współrzędne biegunowe i wychodzi mi całeczka:

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{4}\sqrt{(r^{2}/4)(cos^2\varphi+sin^2\varphi)}r d\varphi dr}\)
zastanawiam się nad granicami: r bo =4 a kąt bo promien zatacza pełny okrąg,dobrze rozumuje?

po redukcji
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{4}(r^{2}/2)drd\varphi}\)

rozwiązując te podwójną całkę wychodzi mi \(\displaystyle{ (128/6)*\pi}\)

Poprawiłem temat. luka52
Ostatnio zmieniony 3 wrz 2007, o 21:20 przez hasacz, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Obliczyć objętość bryły

Post autor: luka52 » 3 wrz 2007, o 20:47

Okrąg (czy też lepiej walec) nie ma swojego środka w punkcie (0,0) więc ani kąt ani promień nie będą się zmieniać w takich granicach jak to napisałeś. Zastanów się jak powinny wyglądać granice.
BTW. Po redunkcji nie będzie \(\displaystyle{ r^2/2}\)

hasacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 25 gru 2006, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy

Obliczyć objętość bryły

Post autor: hasacz » 3 wrz 2007, o 20:58

mi wychodzi r^2/2.. jedynka trygonometryczna,potem pierwiastek z tego co przed nawiasem i jeszcze razy r..

A mozna wytłumaczyc dokładnie jak beda wygladac te granice i dlaczego?

[ Dodano: 3 Września 2007, 21:01 ]
rozrysowałem sobie to i faktycznie promien zmienia sie od 0 do 8??? a z kątem to nierozumiem dalej..

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Obliczyć objętość bryły

Post autor: luka52 » 3 wrz 2007, o 21:09

Nie, nie, nie - granice przy całkowaniu po dr nie muszą przecież być zawsze liczbami.

Weźmy to nasze równanie - \(\displaystyle{ x^2 - 8x + y^2 = 0}\) podstawmy odpowiednie wartości za x i y - otrzymamy:
\(\displaystyle{ r^2 - 8 r \cos \varphi = 0}\)
Stąd \(\displaystyle{ 0 q r q 8\cos \varphi}\).
A kąt \(\displaystyle{ 0 q \varphi q \pi}\)

hasacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 25 gru 2006, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 2 razy

Obliczyć objętość bryły

Post autor: hasacz » 3 wrz 2007, o 21:19

ok dzięki wielkie juz rozumiem faktycznie nie była to filozofia specjalna..

ODPOWIEDZ