Matematyka.pl

Oblicz \(\displaystyle{ \int_{0}^{2r} \mbox{d}x \int_{- \sqrt{ 2rx-x^{2}}}^{\sqrt{2rx-x^{2}}} \mbox{d}y \int_{0}^{ \sqrt{4r^2-x^2-y^2} } \mbox{d}z}\) korzystając z współrzędnych walcowych.
Po przekształceniu otrzymałam następującą całkę:
\(\displaystyle{ \int_{- \frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2}} \mbox{d}\alpha \int_{0}^{2rcos\alpha } \mbox{d}R \int_{0}^{ \sqrt{4r^2-R^2} }R \mbox{d}z= \frac{8 \pi r^{3}}{3}}\)
W odpowiedziach jest:
\(\displaystyle{ \frac{8r^{3}}{3}( \pi - \frac{4}{3})}\)
Granice całkowania są złe czy mam szukać błędów w obliczeniach?

Całkę masz dobrze zapisaną, coś po drodze musisz gubić.
Napiszę ostatnią linijkę rozwiązania:
\(\displaystyle{ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left[-\frac{1}{3}\sqrt{\left(4r^2(1-\cos^{2}\alpha))\right^{3}}+\frac{1}{3}\left(4r^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right] \mbox{d}\alpha}\)