Wykazać poprawność nierówności

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Kaktusiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm Śląski
Podziękował: 16 razy

Wykazać poprawność nierówności

Post autor: Kaktusiewicz » 3 wrz 2007, o 18:32

Witam!
Nie korzystając z interpretacji geometrycznej wykaż nierówności:
\(\displaystyle{ \sin{x} < x < \tan {x}}\) dla \(\displaystyle{ x (0,\frac{\pi}{2})}\)
.
Podejrzewam, że należy skorzystać z rachunku różniczkowego, ale pomimo wielu prób nie udało mi się wpaść na właściwy trop.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Wykazać poprawność nierówności

Post autor: luka52 » 3 wrz 2007, o 19:02

Udowodnimy dwie nierówności, tj.
I \(\displaystyle{ \sin x }\)
II \(\displaystyle{ x }\)

ad I
Oznaczmy \(\displaystyle{ f(x) = \sin x - x}\)
Wtedy \(\displaystyle{ f'(x) = \cos x - 1}\)
A ponieważ f(0) = 0 i f'(x) \(\displaystyle{ \sin x - x }\)

ad II
Analogicznie ;)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Wykazać poprawność nierówności

Post autor: max » 3 wrz 2007, o 19:31

Cały zabieg jest trochę bez sensu, bo przy liczeniu pochodnej funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto \sin x}\) korzystamy z dowodzonej nierówności...

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Wykazać poprawność nierówności

Post autor: luka52 » 3 wrz 2007, o 19:40

max, zgadza się, ale skoro należy zastosować wiedzę z rachunku różniczkowego to jest jakiś inny sposób

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Wykazać poprawność nierówności

Post autor: max » 3 wrz 2007, o 20:43

Nie wiem, po prostu stwierdziłem, że to jest dowód przez założenie tezy. Niewykluczone, że autor zadania miał właśnie coś takiego na myśli, choć mam nadzieję, że nie...
Mogę spytać skąd to zadanie pochodzi?

Kaktusiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm Śląski
Podziękował: 16 razy

Wykazać poprawność nierówności

Post autor: Kaktusiewicz » 3 wrz 2007, o 21:55

Witam!
Nigdzie nie było narzucone, by skorzystać z rachunku różniczkowego, tylko tak zasugerowałem na początku. To wydaje się jednak najbardziej logiczne.
Zadanie 1. z 1.1.2 Rok 2003 - Termin II (strona 3 u dołu): http://www.g2inf.one.pl/files/46/egzaminy.pdf

ODPOWIEDZ