Matematyka.pl

Pani A jedzie samochodem 70 km z Radomia do Kielc szosą E7 ze średnią prędkością 66 km/h. Pan A wyrusza z Kielc do Radomia w tej samej chwili, w której wyjeżdża jego żona, osiągając średnią prędkość 74 km/h. Jak daleko są oboje od Kielc, kiedy się mijają?

Zadanie jest źle sformułowane. Załóżmy, że pani A pojechała sobie kawałek od Radomia, po czym się zatrzymała (bo np. potrzeba ją przycisnęła na parkingu, a skończył się papier toaletowy), a pan A jechał sobie ze stałą prędkością. Po minięciu przez pana A pani A włączyła sobie turbo i popędziła na złamanie karku tak, żeby zachować średnią prędkość taką jak w treści zadania. Wtedy punkt mijania będzie pod samym Radomiem.
Państwo A mogli zastosować odwrotną taktykę i wtedy spotkają się pod Kielcami.

Należy zatem założyć (mniej lub bardziej realnie), że poruszali się ze stałą prędkością. Po tej uwadze możemy przystąpić do rozwiązania zadania.

Niech \(\displaystyle{ d}\) będzie odległością pomiędzy Radomiem a Kielcami, \(\displaystyle{ v_{pan}, v_{pani}}\) prędkościami odpowiednio pana A i pani A.

Załóżmy, że punkt \(\displaystyle{ 0}\) jest w Radomiu (tj. liczymy odległość od Radomia).

Po upływie czasu \(\displaystyle{ t}\) pani A znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ v_{pani}t}\), a pan A w punkcie \(\displaystyle{ d - v_{pan}t}\) (bo jedzie od Kielc do Radomia). Trzeba rozwiązać równanie \(\displaystyle{ v_{pani}t = d - v_{pan}t}\), a wówczas \(\displaystyle{ v_{pan}t}\) da nam otrzymaną odległość.

liu, mógłbyś napisać ile to wyjdzie bo wychodzą mi liczby których nie ma w odpowiedziach.
A. 22km, B. 33km, C. 35km D.37km

Jeśli nie przerasta mnie mój kalkulator, to 37, wzór jest coś koło tego:

\(\displaystyle{ \frac{v_{pan}d}{v_{pani} + v_{pan}}}\)

liu pisze:Po minięciu przez pana A pani A włączyła sobie turbo i popędziła na złamanie karku tak, żeby zachować średnią prędkość taką jak w treści zadania. Wtedy punkt mijania będzie pod samym Radomiem. Państwo A mogli zastosować odwrotną taktykę i wtedy spotkają się pod Kielcami.

Ile (w km) jest "pod samym Radomiem" od Radomia albo ile (w km) jest "pod Kielcami" od Kielc?

Można dobrać dowolnie blisko, pod warunkiem, że pani potem dostatecznie szybko pojedzie;) Trochę przesadziłem z symetrią, bo ten co wolniej jedzie nie może za długo posiedzieć, bo nie zdąży dojechać do końca, ale wygląda to mniej więcej tak (proszę wybaczyć moje zdolności w zakresie tworzenia wykresów):

Powiedzmy, że mamy do Kielc \(\displaystyle{ 5 km}\). Pani A dojedzie tam w \(\displaystyle{ (65/66) \ h}\). Z jaką prędkością pan A pokona resztę trasy do Radomia?

Tak, jak wyżej napisałem, trochę przesadziłem, nie ma pełnej symetrii jeśli jedna z osób porusza się ruchem jednostajnym, co nie zmienia faktu, że zadanie nie ma jednoznacznego rozwiązania (jak na obrazku, który wstawiłem)

liu pisze:bo ten co wolniej jedzie nie może za długo posiedzieć, bo nie zdąży dojechać do końca

Chyba ten co szybciej jedzie?

Nie mogę się wysłowić rozmawiając o normalnym świecie;) Istnieją krzywe monotoniczne (traktowane jako funkcje \(\displaystyle{ x=f(t)}\)) jedna od punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) do \(\displaystyle{ (t_1,d)}\), druga od \(\displaystyle{ (0,d)}\) do \(\displaystyle{ (t_2, 0)}\) przecinające się w punkcie o dowolnej drugiej współrzędnej z przedziału \(\displaystyle{ [0, d]}\). Jeśli przyjmiemy \(\displaystyle{ t_1 = d/v_1}\), \(\displaystyle{ t_2 = d/v_2}\) to dostaniemy krzywe opisujące ruch pojazdów z prędkościami średnimi odpowiednio \(\displaystyle{ v_1}\) i \(\displaystyle{ v_2}\). Ergo państwo A mogą się spotkać gdzie chcą, pod warunkiem, że się umówią na odpowiedni styl jazdy.