Kryteria nierozkładalności wielomianów

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Algebry.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2387 razy
Pomógł: 643 razy

Kryteria nierozkładalności wielomianów

Post autor: mol_ksiazkowy » 3 cze 2016, o 00:31

Wielomian \(\displaystyle{ f \left( x \right)}\) stopnia \(\displaystyle{ n \geq 1}\) o współczynnikach z ciała \(\displaystyle{ K}\) jest nierozkładalny w tym ciele, jeśli nie można go przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia niższego niż \(\displaystyle{ n}\) o współczynnikach z ciała \(\displaystyle{ K}\); w przeciwnym razie wielomian ten jest rozkładalny w ciele \(\displaystyle{ K}\).


Niech \(\displaystyle{ f \left( x \right) = a_0x^n + a_1x^{n-1}+ ...+ a_n}\)


Kryterium Eisensteina
Jeśli wszystkie współczynniki wielomianu są całkowite i podzielne przez jakąś liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\), oprócz \(\displaystyle{ a_0}\) który nie jest podzielny przez \(\displaystyle{ p}\), oraz \(\displaystyle{ a_n}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ p^2}\), to ten wielomian nie jest rozkładalny w ciele liczb wymiernych

Przykład (OM)
Udowodnić, że wielomian \(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^5 - 3x^4 + 6x^3 - 3x^2 + 9x - 6}\) nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego o współczynnikach całkowitych ( tzn, że \(\displaystyle{ f}\) jest nierozkładalny w \(\displaystyle{ Z}\) ( zbiór liczb całkowitych).

Rozwiązanie tego zadania jest wnioskiem z powyższego (dla \(\displaystyle{ p=3}\)).

Uwagi:
i) Założenie iż \(\displaystyle{ a_n}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ p^2}\) jest istotne (inaczej teza jest fałszywa; np. \(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^2- 6x+9}\))
ii) Dla niektórych wielomianów jak np. \(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^4+x^3+x^2+x+1}\) można skorzystać z tej metody pośrednio, tj. przez podstawienie \(\displaystyle{ y=x-1}\) mieć \(\displaystyle{ g \left( y \right) = y^4+5y^3+10y^2+10y+5}\) nierozkładalny (tj. \(\displaystyle{ f}\) także) z k. E. Jednakże \(\displaystyle{ f}\) jest rozkładalny w ciele liczb rzeczywistych, gdyż \(\displaystyle{ x^4+x^3+x^2+x+1 = \left( x^2 + \frac{1}{2} x+ 1 \right) ^2 - \frac{5}{4} x^2}\).


Przykład (wielomianu rozkładalnego)
\(\displaystyle{ W \left( x \right) = x^5+ x- 1 = \left( x^3 +x^2 -1 \right) \left( x^2 - x + 1 \right)}\)

Na ogół poszukiwanie rozkładu sprowadza się do wyznaczania stosownych współczynników np. \(\displaystyle{ W \left( x \right) = x^5+ x- 1 = \left( x^3 +ax^2 +bx+c \right) \left( x^2 +d x + e \right)}\) lub też o ile to możliwe przekształcenia np. \(\displaystyle{ x^4-4x +1 = \left( x^2+1 \right) ^2 - 2 \left( x+1 \right) ^2}\) itp.


Wielomian stopnia mniejszego niż \(\displaystyle{ n \leq 4}\) o współczynnikach wymiernych jest rozkładalny w ciele liczb wymiernych jeśli ma pierwiastek wymierny; wielomiany wyższych stopni mogą być rozkładalne mimo, że nie mają wymiernych pierwiastków; np. \(\displaystyle{ f \left( x \right) =x^6-9}\) itp.
Wielomian \(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^4+ b_1x^3 +b_2x^2 + b_3x+ b_4}\) o współczynnikach wymiernych jest rozkładalny w ciele liczb wymiernych jeśli ma wymierny pierwiastek albo jeśli związany z nim wielomian stopnia trzeciego
\(\displaystyle{ k \left( t \right) = 8t^3 - 4b_2t^2 + \left( 2b_1b_3 - 8b_4 \right) t - \left( b_1^2b_4 - 4b_2b_4 +b_3^2 \right)}\)
ma pierwiastek wymierny \(\displaystyle{ t_0}\) i liczby
\(\displaystyle{ \begin{cases} \lambda = \sqrt{2t_0 + \frac{1}{4}b_1^2 - b_2} \\ \mu = \sqrt{t_0^2 - b_4} \end{cases}}\)
są wymierne; i \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \left( x^2 + \left( \frac{1}{2}b_1 +\lambda \right) x + t_0 + \mu \right) \left( x^2 + \left( \frac{1}{2}b_1 - \lambda \right) x + t_0 - \mu \right)}\)

Przykład
Niech \(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^4 -2x^3 - 7x^2 - 10x -2}\); wtedy \(\displaystyle{ f}\) nie ma wymiernych pierwiastków; \(\displaystyle{ k \left( t \right) = 8t^3 +28t^2+56t -36}\) i \(\displaystyle{ t_0= \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda = \pm 3 \ \ \mu = \pm \frac{3}{2}}\); ostatecznie
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \left( x^2+2x+2 \right) \left( x^2-4x-1 \right)}\)


Istnieją różne inne kryteria, np. takie:
Jeśli wielomian \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ \pm 1}\) dla więcej niż \(\displaystyle{ 2l}\) wartości całkowitych \(\displaystyle{ x}\) gdzie \(\displaystyle{ n=2l}\) lub \(\displaystyle{ n=2l+1}\) to \(\displaystyle{ f}\) jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.

Przykład
Niech \(\displaystyle{ g \left( x \right) =3f \left( x \right) = x^3 -x-3}\) to \(\displaystyle{ f}\)ma tę własność, że
\(\displaystyle{ \begin{cases}f \left( 0 \right) =-1 \\ f \left( 2 \right) = 1 \\ f \left( -1 \right) = -1 \end{cases}}\)
i jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.

Kryterium Poly’a
Niech dla wielomianu \(\displaystyle{ f}\), \(\displaystyle{ A}\) będzie największą z liczb \(\displaystyle{ |a_1|, ..., |a_n|}\) zaś \(\displaystyle{ k}\) liczbą całkowitą: \(\displaystyle{ k \geq \frac{A}{a_0} + \frac{3}{2}}\), wtedy jeśli \(\displaystyle{ f \left( k-1 \right) \neq 0}\) i \(\displaystyle{ f \left( k \right)}\) jest liczbą pierwszą to \(\displaystyle{ f}\) jest nierozkładalny w ciele liczb wymiernych.

Przykład
Niech \(\displaystyle{ f \left( x \right) = x^3-x^2+x +1}\); wtedy \(\displaystyle{ A=1}\) i \(\displaystyle{ k \geq \frac{5}{2}}\); jak i \(\displaystyle{ f \left( 3 \right) =22}\) i \(\displaystyle{ f \left( 4 \right) = 53}\) tj. \(\displaystyle{ f}\) jest nierozkładalny


Przykład/ Zadanie
Czy wielomian \(\displaystyle{ f \left( x \right) =x^5 - 2x^4 - 3x^3+6x^2+ x -1}\) jest rozkładalny w ciele liczb wymiernych ?

Źródła:
W. I. Proskuriakow - Algebra wyższa
Ostatnio zmieniony 7 cze 2016, o 15:35 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ