Matematyka.pl

Mam problem z daną funkcją:

\(\displaystyle{ f(x,y)=\cosh (x ^{2}+y ^{2})}\)

Liczyłam drugą pochodną, która jest:
\(\displaystyle{ \frac{d ^{2} }{dx ^{2} }= 2(\sinh (x ^{2}+y ^{2})+2x ^{2} \cosh (x ^{2}+y ^{2} ))}\)
\(\displaystyle{ \frac{d ^{2} }{dy ^{2} }= 2(2y ^{2} \cosh (x ^{2}+y ^{2})+\sinh (x ^{2}+y ^{2} ))}\)

Ale dalej nie wiem co robić...

Wypukłość jakiej funkcji mamy zbadać?

To akurat nie jest prawdą (\(\displaystyle{ 1/r^2}\)

Badanie wypukłosci funkcji dwóch zmiennych polega na badaniu jej na dowolnym odcinku .wybierz sobie dwa punkty, spatamtryzuj odcinek i badań funkcje jednej zmiennej.

-- 3 cze 2016, o 15:19 --

Prawdziwa jest inna wersja
:\(\displaystyle{ g}\) wypukła, \(\displaystyle{ h}\) wypukła i rosnąca, to złożenie jest wypukłe

A mógłby ktoś mi pomóc sprametryzować ?

Mając punkty \(\displaystyle{ (x,y)}\) oraz \(\displaystyle{ (z,t) \in \RR^{2}}\), możesz sparametryzować odcinek je łączący np. tak:
\(\displaystyle{ X=(1-\alpha) \cdot (x,y)+\alpha \cdot (z,t)}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in [0,1]}\)
albo tak:
\(\displaystyle{ X=(x,y)+\alpha \cdot((z,t)-(x,y)), \alpha \in [0,1]}\)

-- 4 cze 2016, o 13:27 --

Wygodniej będzie zapewne skorzystać z tego pierwszego sposobu.

Jeżeli spytam, że dalej do końca nie rozumiem, będzie źle? (i poproszę o pomoc)

Namieszałem tamtą głupią "wskazówką", którą schowałem, więc może przedstawię rozwiązanie.
Niech \(\displaystyle{ f(x,y)=\cosh(x^{2}+y^{2})}\). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ (x,y) \in \RR^{2}, (z,t) \in \RR^{2}}\) i dowolne \(\displaystyle{ \alpha \in [0,1]}\). Sprawdzimy, że wówczas
\(\displaystyle{ (1-\alpha) f(x,y)+\alpha f(z,t) \ge f\left((1-\alpha)(x,y)+\alpha (z,t) \right)}\) - to jest warunek wprost z definicji wypukłości.

Mamy \(\displaystyle{ f((1-\alpha)x+\alpha z, (1-\alpha)y+\alpha t)=\cosh\left( ((1-\alpha)x+\alpha z)^{2}+((1-\alpha)y+\alpha t)^{2}\right)}\)
Funkcja jednej zmiennej \(\displaystyle{ g(a)=\cosh(a)}\) jest rosnąca dla \(\displaystyle{ a>0}\), gdyż \(\displaystyle{ g'(a)=\sinh(a)= \frac{e^{a}-e^{-a}}{2}>0}\) dla \(\displaystyle{ a>0}\).

Ponadto funkcja \(\displaystyle{ h(x,y)=x^{2}+y^{2}}\) jest wypukła, gdyż jej hesjan to
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{array} \right]}\) - ma on podwójną wartość własną \(\displaystyle{ 2}\), która jest ściśle dodatnia. Można też badać wypukłość \(\displaystyle{ h(x,y)}\) wprost z definicji.

Zatem: \(\displaystyle{ ((1-\alpha)x+\alpha z)^{2}+((1-\alpha)y+\alpha t)^{2}= h((1-\alpha)(x,y)+\alpha (z,t)) \le \\ \le(1-\alpha)h(x,y)+\alpha h(z,t)=(1-\alpha)(x^{2}+y^{2})+\alpha(z^{2}+t^{2})}\)
i ponieważ cosinus hiperboliczny jest rosnący dla argumentów rzeczywistych dodatnich, a kombinacja wypukła kwadratów niewątpliwie jest nieujemna, to otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \cosh\left( ((1-\alpha)x+\alpha z)^{2}+((1-\alpha)y+\alpha t)^{2}\right) \le \cosh \bigg((1-\alpha)(x^{2}+y^{2})+\alpha(z^{2}+t^{2})\right) \bigg)}\)
Wreszcie cosinus hiperboliczny jako funkcja jednej zmiennej jest wypukły, gdyż
jego druga pochodna to on sam, a mamy \(\displaystyle{ \cosh t>0}\) (a nawet \(\displaystyle{ \cosh t \ge 1}\)) dla dowolnego \(\displaystyle{ t\in \RR}\).
Stąd: \(\displaystyle{ \cosh \bigg((1-\alpha)(x^{2}+y^{2})+\alpha(z^{2}+t^{2})\right) \bigg) \le (1-\alpha)\cosh(x^{2}+y^{2})+\alpha \cosh(z^{2}+t^{2})=(1-\alpha)f(x,y)+\alpha f(z,t)}\)
dla dowolnych \(\displaystyle{ (x,y)}\) i \(\displaystyle{ (z,t) \in \RR^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \in [0,1]}\)
Być może Pan a4karo miał na myśli coś bardziej eleganckiego, ale skoro już napisałem bzdurę, to poczuwam się do przedstawienia rozwiązania.

Premislav, wyrwałeś mnie do tablicy, to masz

wzorem Premislava, napiszmy parametryzację odcinka o końcach \(\displaystyle{ (a_1,b_1)}\) i \(\displaystyle{ (a_2,b_2)}\) (przepraszam za zmianę oznaczeń, ale wolę tak, żeby nie pomieszać punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) z argumentami funkcji):
\(\displaystyle{ x(t)=(1-t)a_1+ta_2\\
y(t)=(1-t)b_1+tb_2}\)

Wtedy \(\displaystyle{ x^2(t)+y^2(t)=(a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2)t^2+\mu t+\nu}\) (nie wyliczam \(\displaystyle{ \mu}\) i \(\displaystyle{ \nu}\), bo są nieistotne) jest funkcją wypukłą zmiennej \(\displaystyle{ t}\) (bo to wszak funkcja kwadratowa z dodatnim współczynnikiem przy \(\displaystyle{ t^2}\) i na dodatek nieujemna (bo lewa struna jest sumą kwadratów)

Funkcja \(\displaystyle{ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}}\) jest parzysta, wypukła (jako suma dwóch funkcji wypukłych - zdecydowanie wolę taki argument niż liczenie drugiej pochodnej) - stąd wniosek, że dla dodatnich \(\displaystyle{ x}\) jest rosnąca. Zatem złożenie \(\displaystyle{ \cosh(x^2(t)+y^2(t))}\) jest wypukłe na mocy tego, co napisałem wcześniej.