Jak wyznaczyc ideały w pierścieniu
-
pasjonat
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 21 mar 2007, o 00:28
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 2 razy
Jak wyznaczyc ideały w pierścieniu
Tak jak w temacie prosze o wyjaśnienie jeśli ktoś wie jak wyznaczyc ideały w pierścieniu \(\displaystyle{ Z_{11} Z_{12}}\)..i może prosze o rozwiazanie krok po kroku jesli mozna..:/
-
Arek
- Użytkownik
- Posty: 1729
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 12 razy
Jak wyznaczyc ideały w pierścieniu
Przypomnijmy definicję ideału.
DEF (Ideał w pierścieniu przemiennym R)
Podzbiór I pierścienia R (przemiennego) nazywamy ideałem, jeśli spełnione są warunki:
1) I jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia R
(zatem suma dowolnych dwóch elementów I należy do I)
2) Dla każdego \(\displaystyle{ r \in R}\) i dla każdego \(\displaystyle{ a \in I}\) mamy \(\displaystyle{ r\cdot a \in I}\)
(element ideału przemnożony przez cokolwiek z pierścienia należy do ideału).
--
Łatwo widzieć, że jeżeli \(\displaystyle{ 1 \in I}\) to I = R (warunek 2). Ideał, który nie jest równy R nazywamy właściwym.
--
Załóżmy więc, że w pierścieniu \(\displaystyle{ R = Z_{11} \times Z_{12}}\) szukamy tylko ideałów właściwych.
Idziemy zgodnie z warunkami.
1) W naszym przypadku łatwo wyznaczyć wszystkie podgrupy addytywne pierścienia R, bowiem jedynymi podgrupami \(\displaystyle{ Z_{11}}\) są:
\(\displaystyle{ Z_{11}, e}\),
zaś podgrupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\) to:
\(\displaystyle{ Z_{12}, Z_{6}, Z_{4}, Z_{2}, e}\)
Powód: Grupa \(\displaystyle{ Z_{n}}\) z dodawaniem, jest grupą cykliczną. Podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna. Dla każdego dzielnika dodatniego k liczby n, istnieje grupa \(\displaystyle{ Z_{k}}\) będąca podgrupą \(\displaystyle{ Z_{n}}\). Innych zaś podgrup na mocy tw. Lagrange'a być nie może.
Zatem na mocy pierwszego warunku, kandydatów do bycia ideałem pierścienia R jest dziesięciu (odpowiednie iloczyny tych podgrup).
2) Warunek drugi wydaje się być trudniejszym do sprawdzenia, ale czy na pewno... Mnożenie w pierścieniu R jest mnożeniem po współrzędnych, zatem co widzimy:
Nasi kandydaci na ideały to zbiory postaci:
(*) \(\displaystyle{ (0,g), g \in G}\).
(**) \(\displaystyle{ (h,g), h \in Z_{11}, g \in Z_{12}}\)
W obydwu przypadkach chcąc sprawdzić warunek 2, nie musimy w ogóle przejmować się pierwszą współrzędną, bowiem, dla każdego \(\displaystyle{ (r_1,r_2) \in Z_{11} \times Z_{12}}\) mamy:
(*) \(\displaystyle{ (r_1,r_2)(0,g) = (0,r_{2}\cdot g)}\)
(**) \(\displaystyle{ (r_1,r_2)(h,g) = (r_1 \cdot h,r_{2}\cdot g)}\)
A więc na pierwszych współrzędnych, sprawdzając warunek 2, mamy w rezultacie elementy pierwszej współrzędnej branej w odpowiedniej postaci (* lub **) ideału I. Tak więc w przypadku mnożenia na pierwszej współrzędnej, wszyscy kandydaci zaliczają.
Pozostaje pytanie: którzy kandydaci spełniają warunek 2 na drugiej współrzędnej?
Które z 5 podgrup grupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\) mogą być drugim czynnikiem iloczynu, który da szukane ideały?
Są to te podgrupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\), które są jednocześnie ideałami w \(\displaystyle{ Z_{12}}\). Na pewno {e} i samo \(\displaystyle{ Z_{12}}\). A czy \(\displaystyle{ Z_{6}, Z_{4}, Z_{2}}\)? Sprawdźmy:
a) Dla \(\displaystyle{ Z_{6}}\) tak, ponieważ składa się on z elementów 0,2,4,6,8,10 i jaki byśmy element grupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\) przez to nie pomnożyli (modulo 12), zawsze pozostaniemy w tym zbiorze.
b) Dla \(\displaystyle{ Z_{4}}\) tak, ponieważ składa się on z elementów 0,3,6,9 i jaki byśmy element grupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\) przez to nie pomnożyli (modulo 12), zawsze pozostaniemy w tym zbiorze.
c) Dla \(\displaystyle{ Z_{2}}\) tak, ponieważ składa się on z elementów 0,6 jaki byśmy element grupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\) przez to nie pomnożyli (modulo 12), zawsze pozostaniemy w tym zbiorze.
Zatem wyszło nam (nie powinno nas to mocno zaskakiwać), że wszystkie podgrupy grupy addytywnej pierścienia \(\displaystyle{ Z_{11} \times Z_{12}}\) są ideałami tego pierścienia.
----
Te znacznie przydługie rozważania prowadzą do dość oczywistych pytań:
Może kiedy szukamy ideałów pierścienia będącego iloczynem pierścieni postaci \(\displaystyle{ Z_{n}}\) to ideały te są iloczynami podgrup odpowiednich grup cyklicznych?
DEF (Ideał w pierścieniu przemiennym R)
Podzbiór I pierścienia R (przemiennego) nazywamy ideałem, jeśli spełnione są warunki:
1) I jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia R
(zatem suma dowolnych dwóch elementów I należy do I)
2) Dla każdego \(\displaystyle{ r \in R}\) i dla każdego \(\displaystyle{ a \in I}\) mamy \(\displaystyle{ r\cdot a \in I}\)
(element ideału przemnożony przez cokolwiek z pierścienia należy do ideału).
--
Łatwo widzieć, że jeżeli \(\displaystyle{ 1 \in I}\) to I = R (warunek 2). Ideał, który nie jest równy R nazywamy właściwym.
--
Załóżmy więc, że w pierścieniu \(\displaystyle{ R = Z_{11} \times Z_{12}}\) szukamy tylko ideałów właściwych.
Idziemy zgodnie z warunkami.
1) W naszym przypadku łatwo wyznaczyć wszystkie podgrupy addytywne pierścienia R, bowiem jedynymi podgrupami \(\displaystyle{ Z_{11}}\) są:
\(\displaystyle{ Z_{11}, e}\),
zaś podgrupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\) to:
\(\displaystyle{ Z_{12}, Z_{6}, Z_{4}, Z_{2}, e}\)
Powód: Grupa \(\displaystyle{ Z_{n}}\) z dodawaniem, jest grupą cykliczną. Podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna. Dla każdego dzielnika dodatniego k liczby n, istnieje grupa \(\displaystyle{ Z_{k}}\) będąca podgrupą \(\displaystyle{ Z_{n}}\). Innych zaś podgrup na mocy tw. Lagrange'a być nie może.
Zatem na mocy pierwszego warunku, kandydatów do bycia ideałem pierścienia R jest dziesięciu (odpowiednie iloczyny tych podgrup).
2) Warunek drugi wydaje się być trudniejszym do sprawdzenia, ale czy na pewno... Mnożenie w pierścieniu R jest mnożeniem po współrzędnych, zatem co widzimy:
Nasi kandydaci na ideały to zbiory postaci:
(*) \(\displaystyle{ (0,g), g \in G}\).
(**) \(\displaystyle{ (h,g), h \in Z_{11}, g \in Z_{12}}\)
W obydwu przypadkach chcąc sprawdzić warunek 2, nie musimy w ogóle przejmować się pierwszą współrzędną, bowiem, dla każdego \(\displaystyle{ (r_1,r_2) \in Z_{11} \times Z_{12}}\) mamy:
(*) \(\displaystyle{ (r_1,r_2)(0,g) = (0,r_{2}\cdot g)}\)
(**) \(\displaystyle{ (r_1,r_2)(h,g) = (r_1 \cdot h,r_{2}\cdot g)}\)
A więc na pierwszych współrzędnych, sprawdzając warunek 2, mamy w rezultacie elementy pierwszej współrzędnej branej w odpowiedniej postaci (* lub **) ideału I. Tak więc w przypadku mnożenia na pierwszej współrzędnej, wszyscy kandydaci zaliczają.
Pozostaje pytanie: którzy kandydaci spełniają warunek 2 na drugiej współrzędnej?
Które z 5 podgrup grupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\) mogą być drugim czynnikiem iloczynu, który da szukane ideały?
Są to te podgrupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\), które są jednocześnie ideałami w \(\displaystyle{ Z_{12}}\). Na pewno {e} i samo \(\displaystyle{ Z_{12}}\). A czy \(\displaystyle{ Z_{6}, Z_{4}, Z_{2}}\)? Sprawdźmy:
a) Dla \(\displaystyle{ Z_{6}}\) tak, ponieważ składa się on z elementów 0,2,4,6,8,10 i jaki byśmy element grupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\) przez to nie pomnożyli (modulo 12), zawsze pozostaniemy w tym zbiorze.
b) Dla \(\displaystyle{ Z_{4}}\) tak, ponieważ składa się on z elementów 0,3,6,9 i jaki byśmy element grupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\) przez to nie pomnożyli (modulo 12), zawsze pozostaniemy w tym zbiorze.
c) Dla \(\displaystyle{ Z_{2}}\) tak, ponieważ składa się on z elementów 0,6 jaki byśmy element grupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\) przez to nie pomnożyli (modulo 12), zawsze pozostaniemy w tym zbiorze.
Zatem wyszło nam (nie powinno nas to mocno zaskakiwać), że wszystkie podgrupy grupy addytywnej pierścienia \(\displaystyle{ Z_{11} \times Z_{12}}\) są ideałami tego pierścienia.
----
Te znacznie przydługie rozważania prowadzą do dość oczywistych pytań:
Może kiedy szukamy ideałów pierścienia będącego iloczynem pierścieni postaci \(\displaystyle{ Z_{n}}\) to ideały te są iloczynami podgrup odpowiednich grup cyklicznych?