Jak wyznaczyc ideały w pierścieniu

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
pasjonat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 21 mar 2007, o 00:28
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 2 razy

Jak wyznaczyc ideały w pierścieniu

Post autor: pasjonat » 3 wrz 2007, o 16:36

Tak jak w temacie prosze o wyjaśnienie jeśli ktoś wie jak wyznaczyc ideały w pierścieniu \(\displaystyle{ Z_{11} Z_{12}}\)..i może prosze o rozwiazanie krok po kroku jesli mozna..:/
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Arek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

Jak wyznaczyc ideały w pierścieniu

Post autor: Arek » 3 wrz 2007, o 23:01

Przypomnijmy definicję ideału.

DEF (Ideał w pierścieniu przemiennym R)

Podzbiór I pierścienia R (przemiennego) nazywamy ideałem, jeśli spełnione są warunki:

1) I jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia R
(zatem suma dowolnych dwóch elementów I należy do I)

2) Dla każdego \(\displaystyle{ r \in R}\) i dla każdego \(\displaystyle{ a \in I}\) mamy \(\displaystyle{ r\cdot a \in I}\)
(element ideału przemnożony przez cokolwiek z pierścienia należy do ideału).

--

Łatwo widzieć, że jeżeli \(\displaystyle{ 1 \in I}\) to I = R (warunek 2). Ideał, który nie jest równy R nazywamy właściwym.

--

Załóżmy więc, że w pierścieniu \(\displaystyle{ R = Z_{11} \times Z_{12}}\) szukamy tylko ideałów właściwych.

Idziemy zgodnie z warunkami.

1) W naszym przypadku łatwo wyznaczyć wszystkie podgrupy addytywne pierścienia R, bowiem jedynymi podgrupami \(\displaystyle{ Z_{11}}\) są:

\(\displaystyle{ Z_{11}, e}\),

zaś podgrupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\) to:

\(\displaystyle{ Z_{12}, Z_{6}, Z_{4}, Z_{2}, e}\)

Powód: Grupa \(\displaystyle{ Z_{n}}\) z dodawaniem, jest grupą cykliczną. Podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna. Dla każdego dzielnika dodatniego k liczby n, istnieje grupa \(\displaystyle{ Z_{k}}\) będąca podgrupą \(\displaystyle{ Z_{n}}\). Innych zaś podgrup na mocy tw. Lagrange'a być nie może.

Zatem na mocy pierwszego warunku, kandydatów do bycia ideałem pierścienia R jest dziesięciu (odpowiednie iloczyny tych podgrup).

2) Warunek drugi wydaje się być trudniejszym do sprawdzenia, ale czy na pewno... Mnożenie w pierścieniu R jest mnożeniem po współrzędnych, zatem co widzimy:

Nasi kandydaci na ideały to zbiory postaci:


(*) \(\displaystyle{ (0,g), g \in G}\).

(**) \(\displaystyle{ (h,g), h \in Z_{11}, g \in Z_{12}}\)

W obydwu przypadkach chcąc sprawdzić warunek 2, nie musimy w ogóle przejmować się pierwszą współrzędną, bowiem, dla każdego \(\displaystyle{ (r_1,r_2) \in Z_{11} \times Z_{12}}\) mamy:

(*) \(\displaystyle{ (r_1,r_2)(0,g) = (0,r_{2}\cdot g)}\)

(**) \(\displaystyle{ (r_1,r_2)(h,g) = (r_1 \cdot h,r_{2}\cdot g)}\)

A więc na pierwszych współrzędnych, sprawdzając warunek 2, mamy w rezultacie elementy pierwszej współrzędnej branej w odpowiedniej postaci (* lub **) ideału I. Tak więc w przypadku mnożenia na pierwszej współrzędnej, wszyscy kandydaci zaliczają.

Pozostaje pytanie: którzy kandydaci spełniają warunek 2 na drugiej współrzędnej?
Które z 5 podgrup grupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\) mogą być drugim czynnikiem iloczynu, który da szukane ideały?

Są to te podgrupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\), które są jednocześnie ideałami w \(\displaystyle{ Z_{12}}\). Na pewno {e} i samo \(\displaystyle{ Z_{12}}\). A czy \(\displaystyle{ Z_{6}, Z_{4}, Z_{2}}\)? Sprawdźmy:


a) Dla \(\displaystyle{ Z_{6}}\) tak, ponieważ składa się on z elementów 0,2,4,6,8,10 i jaki byśmy element grupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\) przez to nie pomnożyli (modulo 12), zawsze pozostaniemy w tym zbiorze.

b) Dla \(\displaystyle{ Z_{4}}\) tak, ponieważ składa się on z elementów 0,3,6,9 i jaki byśmy element grupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\) przez to nie pomnożyli (modulo 12), zawsze pozostaniemy w tym zbiorze.

c) Dla \(\displaystyle{ Z_{2}}\) tak, ponieważ składa się on z elementów 0,6 jaki byśmy element grupy \(\displaystyle{ Z_{12}}\) przez to nie pomnożyli (modulo 12), zawsze pozostaniemy w tym zbiorze.

Zatem wyszło nam (nie powinno nas to mocno zaskakiwać), że wszystkie podgrupy grupy addytywnej pierścienia \(\displaystyle{ Z_{11} \times Z_{12}}\) są ideałami tego pierścienia.

----

Te znacznie przydługie rozważania prowadzą do dość oczywistych pytań:

Może kiedy szukamy ideałów pierścienia będącego iloczynem pierścieni postaci \(\displaystyle{ Z_{n}}\) to ideały te są iloczynami podgrup odpowiednich grup cyklicznych?

ODPOWIEDZ