Matematyka.pl

Czym się różni forma różniczkowa na przestrzeniach euklidesowych od f.różniczkowej na rozmaitościach różniczkowych?

To jest trochę dziwaczne pytanie. Pytasz czym się różnią formy różniczkowe na dwóch różnych rozmaitościach różniczkowalnych.
Lokalnie w układzie współrzędnych \(\displaystyle{ (x_1,...,x_n,U)}\) na rozmaitości różniczkowalnej \(\displaystyle{ M}\) każda \(\displaystyle{ k}\)-forma różniczkowa ma postać:
\(\displaystyle{ \sum_{1\leq i_1<i_2<...<i_k\leq n}f_{i_1i_2...i_k}dx_{i_1}\wedge dx_{i_2}\wedge...\wedge dx_{i_k}}\)
gdzie \(\displaystyle{ f_{i_1i_2...i_k}}\) to funkcje gładkie na \(\displaystyle{ U}\).
Na ogół nie istnieje globalny układ współrzędnych, więc globalnie nie ma takiego przedstawienia. No chyba, że jesteś na podzbiorze otwartym \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\). To jest jedna różnica, którą można podać.
Druga różnica wynika z topologii. Na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) każda \(\displaystyle{ k}\)-forma różniczkowa, która jest zamknięta jest dokładna(lemat Poincar{'e}. To nie jest prawdą dla dowolnej rozmaitości różniczkowalnej \(\displaystyle{ M}\). Jest to równoważne z faktem, że:
\(\displaystyle{ H^k(M,\mathbb{R})=0}\)
co zachodzi na przykład dla \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\).