Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \left\{ X_n\right\}\left\ _{ n \in \NN\right\}}\) losowych o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\). Jak zbadać zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} X_n}\)?

Jaką zbieznosc?

no chyba zwykłą jak nie jest podane, że jednostajną

Jak masz zmienne losowe to masz inne rodzaje zbieżności

W treści nie jest napisane ale pewnie te zmienne losowe są niezależne, przy tym założeniu łatwo np. wyliczyć funkcję charakterystyczną sumy zmiennych losowych co nam pozwoli zbadać zbieżność według rozkładu.

tak są niezależne, łatwo, to znaczy jak?

Zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym
na \(\displaystyle{ (0,1)}\) ma funkcję charakterystyczną
\(\displaystyle{ \varphi(t)= \frac{e^{it}-1}{it}}\). Funkcja charakterystyczna sumy niezależnych zmiennych losowych to iloczyn funkcji charakterystycznych. Ponadto jeśli \(\displaystyle{ \varphi_{X}(t)}\) jest funkcją charakterystyczną rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\),
to \(\displaystyle{ \varphi_{aX}(t)=\varphi_{X}(at)}\)
Skoro zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{n}, n \in \NN}\) są niezależne, to także zmienne \(\displaystyle{ \frac{X_{n}}{n}}\) są niezależne. Gdyby \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{X_{n}}{n}}\) zbiegał według rozkładu do jakiejś zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\), to byłoby
\(\displaystyle{ \lim_{ N \to \infty } \varphi_{ S_N}(t)=\varphi _{Y}(t)}\) (granica punktowa), gdzie
\(\displaystyle{ S_N}\) oznacza sumę częściową szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{X_n}{n}}\).
Ale funkcja charakterystyczna sumy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N} \frac{X_{n}}{n}}\) to jest
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{N}\left( \frac{e^{it/n}-1}{it/n}\right)}\)
Zbadaj zbieżność punktową tego iloczynu.
Czy funkcja graniczna jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu prawdopodobieństwa?

-- 2 cze 2016, o 10:43 --

Jeżeli natomiast wystarczy nam zbadanie zbieżności
prawie na pewno, to można się posłużyć twierdzeniem Kołmogorowa o trzech szeregach.
Ze zbieżności prawie na pewno wynika zbieżność wg prawdopodobieństwa i zbieżność wg rozkładu.