Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
crayan4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 14 sie 2007, o 17:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Post autor: crayan4 » 3 wrz 2007, o 16:21

Mam pare zadań do tego działu:

1. Korzystając z definicji obliczyć pochodne następujących funkcji:

\(\displaystyle{ sin(\frac{1}{x})}\)\(\displaystyle{ \hbox { dla } x \neq 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{sinx}}\)\(\displaystyle{ \hbox { dla } x\neq k\pi, k\in Z}\)

2. Zbadać różniczkowalność podanych funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) :=\begin{cases} arctg(x) \hbox { dla } |x| \leqslant 1\\\pi/4*sgn(x) + (x-1)/2 \hbox { dla } |x| > 1\end{cases}}\)

3. Dobrać parametry a, b, c, d tak aby funkcja f była różniczkowalna w całym zbiorze R

\(\displaystyle{ f(x):=\left\{\begin{array}{l} ax +b \hbox { dla } x qslant 0\\cx^2 + dx \hbox { dla } 0 < x \leqslant 1\\1 - 1/x \hbox { dla } x > 1 \end{array}}\)


Baaaardzo prosze o pomoc...

[ Dodano: 3 Września 2007, 16:32 ]
Do 1 zadania jeszcze 1 przykaład:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

jasny
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Post autor: jasny » 3 wrz 2007, o 17:53

1. a)\(\displaystyle{ \lim_{h\to0}\frac{\sin\frac{1}{x+h}-\sin\frac{1}{x}}{h}= \lim_{h\to0}\frac{2\sin\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{2}\cos\frac{\frac{1}{x+h}+\frac{1}{x}}{2}}{h}= \lim_{h\to0}\frac{2\sin\frac{x-(x+h)}{2x(x+h)}\cos\frac{x+x+h}{2x(x+h)}}{h}= \lim_{h\to0}\frac{2\sin\frac{-h}{2x(x+h)}\cos\frac{2x+h}{2x(x+h)}}{h}= \cos\frac{2x}{2x^2}\cdot\lim_{h\to0}\frac{-2\sin\frac{h}{2x(x+h)}}{h}= \cos\frac{1}{x}\cdot\lim_{h\to0}\frac{-2\sin\frac{h}{2x(x+h)}}{\frac{h}{2x(x+h)}\cdot2x(x+h)}= \cos\frac{1}{x}\cdot\lim_{h\to0}\frac{-2}{2x(x+h)}=\cos(\frac{1}{x})\cdot\frac{-1}{x^2}}\)

[ Dodano: 3 Września 2007, 18:02 ]
b)\(\displaystyle{ \lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{\sin(x+h)}-\frac{1}{\sin{x}}}{h}= \lim_{h\to0}\frac{\sin{x}-\sin(x+h)}{h\sin(x+h)\sin{x}}= \lim_{h\to0}\frac{2\sin\frac{x-(x+h)}{2}\cos\frac{x+x+h}{2}}{h\sin(x+h)\sin{x}}= \lim_{h\to0}(\frac{-\sin{\frac{h}{2}}}{\frac{h}{2}}\cdot\frac{\cos\frac{2x+h}{2}}{\sin(x+h)\sin{x}})= -\frac{\cos{x}}{\sin^2x}}\)

[ Dodano: 3 Września 2007, 18:10 ]
c)\(\displaystyle{ \lim_{h\to0}\frac{\sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]x}{h}= \lim_{h\to0}\frac{(\sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]x)(\sqrt[3]{(x+h)^2}+\sqrt[3]{(x+h)x}+\sqrt[3]{x^2})}{h(\sqrt[3]{(x+h)^2}+\sqrt[3]{(x+h)x}+\sqrt[3]{x^2})}= \lim_{h\to0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt[3]{(x+h)^2}+\sqrt[3]{(x+h)x}+\sqrt[3]{x^2})}= \lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt[3]{(x+h)^2}+\sqrt[3]{(x+h)x}+\sqrt[3]{x^2}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}}\)

ODPOWIEDZ