trojkat

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6480
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

trojkat

Post autor: mol_ksiazkowy » 3 wrz 2007, o 15:24

Dany jest pewien trójkat równo ramienny o kacie a przy podstawie i polu P, oraz wpisano weń okrąg o promieniu 1. oblicz P, jako funkcję zmiennej a. i wyznacz najmniejsza wartość jaka może ono przyjąc, tj. a nastepnie podaj wzór na obwód...
\(\displaystyle{ t=tg(\frac{a}{2})}\)
\(\displaystyle{ s(a)=\frac{2}{t-t^3}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

trojkat

Post autor: Grzegorz t » 5 wrz 2007, o 11:44

co to jest to \(\displaystyle{ t}\) ..

Awatar użytkownika
DEXiu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1174
Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jaworzno
Pomógł: 69 razy

trojkat

Post autor: DEXiu » 5 wrz 2007, o 13:06

Grzegorz t ==> Przecież stoi jak byk \(\displaystyle{ t=tg(\frac{a}{2})}\) (taki skrót - żeby nie przepisywać ciągle \(\displaystyle{ tg(\frac{a}{2})}\) ). Co prawda można to było zapisać może nieco czytelniej dla co poniektórych tzn. \(\displaystyle{ t:=tg(\frac{a}{2})}\), ale tak też jest OK

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

trojkat

Post autor: Anathemed » 5 wrz 2007, o 13:13

Troszkę nie rozumiem o co chodzi z tą funkcją s(a)... Mamy ją jako daną? To s to jest obwód? ??:

Pierwsza część zadania (wyznaczenie funkcji):
Oznaczmy:
a - podstawa trójkąta - kąt przy podstawie. Trochę konflikt oznaczeń z treścią, ale za późno zauważyłem
b - ramię
\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt przy podstawie.

Teraz:
1) Obliczając pole z pomocą promienia okręgu wpisanego jako wysokości trzech trójkątów o podstawach będących bokami trójkąta, mamy:\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}(2b + a)}\)
2) Z twierdzenia sinusów mamy: \(\displaystyle{ \frac{b}{sin } = \frac{a}{sin(\pi - 2\alpha )}}\), stąd po krótkich przekształceniach: \(\displaystyle{ a = 2bcos\alpha}\)
3)Wstawiając za a ten wynik do wzoru z 1) mamy: \(\displaystyle{ P = b(1 + cos\alpha )}\)
4) Pole trójkąta możemy obliczyć też w ten sposob: \(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}absin\alpha}\)
5) Porównując wzór na pole z 3) i z 4), otrzymujemy wzór na a: \(\displaystyle{ a = \frac{2(1+cos\alpha )}{sin }}\)
6) Wracając do wzoru z 2), możemy obliczyć b: \(\displaystyle{ b = \frac{1+ cos }{sin\alpha cos\alpha}}\)
7) Podstawiając za a i b otrzymane wyniki do wzoru z 4), otrzymujemy ządaną funkcję:
\(\displaystyle{ P = \frac{(1+cos )^2}{sin^2\alpha cos }}\)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6480
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

trojkat

Post autor: mol_ksiazkowy » 5 wrz 2007, o 14:01

Anathemed napisał:
Troszkę nie rozumiem o co chodzi z tą funkcją s(a)... Mamy ją jako daną? To s to jest obwód?
S(a)=P

ODPOWIEDZ