rozwiaz

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6483
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

rozwiaz

Post autor: mol_ksiazkowy » 3 wrz 2007, o 13:47

\(\displaystyle{ 2sin(x)=\sqrt{4+cos(3x)}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

rozwiaz

Post autor: Kasiula@ » 3 wrz 2007, o 14:42

Obustronnie podnoszą do kwadratu:
\(\displaystyle{ 4 \sin^{2} x=4+ \cos (3x)= 4+4 \cos^{3} x -3 \cos x}\)
\(\displaystyle{ 4-4 \cos^{2}=4+4 \cos^{3} x -3 \cos x}\)
\(\displaystyle{ 4 \cos^{3} x+4 \cos^{2} x-3 \cos x=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x [4 \cos^{2} x+4 \cos x -3]=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x=0 4 \cos^{2} x+4 \cos x -3=0}\)

1.
\(\displaystyle{ \cos x=0 x=\frac{\pi}{2}+ k\pi, k Z}\)

2.
\(\displaystyle{ 4 \cos^{2} x+4 \cos x -3=0}\)
Dokonuje podstawienia \(\displaystyle{ \cos x =t}\) (przy czym \(\displaystyle{ t [-1,1]}\)):
\(\displaystyle{ 4t^{2}+4t-3=0}\). Łatwo znaleźć pierwiastki tego równania kwadratowego,są nimi -6 i 2. Żaden z tych pierwiastków nie należy do przedziału [-1,1]

Z 1. i 2. otrzymaliśmy,że rozwiązaniem danej równości jest \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+ k\pi , k Z}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

rozwiaz

Post autor: luka52 » 3 wrz 2007, o 15:11

Kasiula@ pisze:Z 1. i 2. otrzymaliśmy,że rozwiązaniem danej równości jest \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+ k\pi , k Z}\)
Czy aby na pewno? Podstawiając do równania \(\displaystyle{ x = \frac{3}{2}\pi}\) otrzymamy sprzeczność.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6483
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

rozwiaz

Post autor: mol_ksiazkowy » 3 wrz 2007, o 15:26

:arrow: sin(x)>0

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

rozwiaz

Post autor: Sylwek » 3 wrz 2007, o 15:28

Kasiula@ pisze:Z 1. i 2. otrzymaliśmy,że rozwiązaniem danej równości jest x=frac{pi}{2}+ kpi , k Z
A dokładniej: przy podnoszeniu do kwadratu obie strony muszą być dodatnie. Jeszcze dokładniej: gdzie dziedzina?
Kasiula@ pisze:Łatwo znaleźć pierwiastki tego równania kwadratowego,są nimi -6 i 2.
Na pewno ? Nie zapominaj o czwórce stojącej przy t^2.

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

rozwiaz

Post autor: Kasiula@ » 3 wrz 2007, o 15:28

Jak podstawie \(\displaystyle{ x=\frac{3}{2}\pi}\) to lewej stronie otrzymuje -2, a po prawej stronie \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\).
\(\displaystyle{ -2=\sqrt{4}}\)

Może,źle to rozumię,ale wydaje mi się,że dla \(\displaystyle{ \frac{3}{2}\pi}\) równość jest.

[ Dodano: 3 Września 2007, 15:31 ]
Dzięki Sylwek. Znalazłam bład (w swoich notatkach nie miałam 4). Przepraszam wszystkich

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

rozwiaz

Post autor: luka52 » 3 wrz 2007, o 15:38

Kasiula@, to -2 = 2

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

rozwiaz

Post autor: Kasiula@ » 3 wrz 2007, o 15:49

Nie.
Jak zaczęłam liczyć,to na końcu nie uwzględniłam wcześniejszych założeń i dlatego tak wyszło. Ale juz porządkuję wszystko. Sorrki.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

rozwiaz

Post autor: Emiel Regis » 3 wrz 2007, o 15:56

luka52 pisze:Kasiula@, to -2 = 2
luka52, skąd tak wnioskujesz?
Zawsze pierwiastków algebraicznych n-tego stopnia jest n (które absolutnie nie są sobie równe). W szczególności jeden arytmetyczny.

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

rozwiaz

Post autor: Kasiula@ » 3 wrz 2007, o 16:05

Jeżeli tym razem nieczego nie pogubiłam, to rozwiązaniem są:
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{3}+2k\pi}\).

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

rozwiaz

Post autor: luka52 » 3 wrz 2007, o 16:14

Drizzt, bo wydaje mi się, że w tym zadaniu mowa o pierwiastkach innych niż arytmetyczny nie ma sensu, a nawet jeśli to warto by o tym w treści wspomnieć.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

rozwiaz

Post autor: Emiel Regis » 3 wrz 2007, o 16:19

Oczywiście że tak. Tylko mnie zdziwil pomysł porównywania ze sobą dwóch pierwiastków.
No ale kończe juz tego off-topa.

ODPOWIEDZ