Pokazanie przynależności liczby do zbioru

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Kris-0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 399
Rejestracja: 24 gru 2006, o 11:16
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 82 razy

Pokazanie przynależności liczby do zbioru

Post autor: Kris-0 » 3 wrz 2007, o 13:31

Wahalem się czy zadanie zamieścic tutaj czy może z dziale Zbiory. Teoria mnogości. Zadanie jednak zdecydowałem zamieścić w dziale Teorii liczb.Gdyby jednak dział nie pasował proszę o przeniesienie.

Zadanie:
Pokaż, że:
a) jeśli liczba p i q jest wymierna (\(\displaystyle{ p, q \mathbb{Q}}\)), to liczba p+q także jest wymierna (czyli \(\displaystyle{ p + q \mathbb{Q}}\)).
b) jeśli liczba p jest wymierna (\(\displaystyle{ p \mathbb{Q}}\)) i q jest niewymierna (\(\displaystyle{ q \mathbb{IQ}}\)), to liczba p+q jest niewymierna (\(\displaystyle{ p + q \mathbb{IQ}}\)).
c) oznaczmy przez \(\displaystyle{ \mathbb{Q_+}}\) zbiór dodatnich liczb wymiernych; jeśli liczba \(\displaystyle{ p \mathbb{Q_+}}\), \(\displaystyle{ \sqrt{p} \mathbb{IQ}}\) i \(\displaystyle{ q \mathbb{Q_+}}\), to \(\displaystyle{ (\sqrt{p}+q)^2 \mathbb{IQ}}\).
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Pokazanie przynależności liczby do zbioru

Post autor: max » 3 wrz 2007, o 14:00

Dobrze wybrałeś dział. Teoria mnogości zajmuje się ogólniejszym badaniem zbiorów bez wnikania w istotę elementów do nich przynależących.

a) Z definicji liczby wymiernej mamy:
\(\displaystyle{ p = \frac{a_{1}}{b_{1}}, \ a_{1}, b_{1} \mathbb{Z},\ b_{1} 0\\
q = \frac{a_{2}}{b_{2}}, \ a_{2},b_{2} \mathbb{Z}, \ b_{2}\neq 0}\)

więc:
\(\displaystyle{ p + q = \frac{a_{1}b_{2} + a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}}}\)
a ponieważ działanie dodawania i mnożenia jest wykonalne w zbiorze liczb całkowitych, to:
\(\displaystyle{ a_{1}b_{2} + a_{2}b_{1}\in \mathbb{Z}, \ b_{1}b_{2} \mathbb{Z}}\)
ponadto z założeń \(\displaystyle{ b_{1}, b_{2}\neq 0}\) wynika również, że:
\(\displaystyle{ b_{1}b_{2}\neq 0}\)
I ostatecznie \(\displaystyle{ p + q \mathbb{Q}}\)

b) Załóżmy, że jest inaczej, tzn \(\displaystyle{ p + q \mathbb{Q}}\), czyli:
\(\displaystyle{ p+q = \frac{a}{b}, \ a, b\in \mathbb{Z}, \ b 0}\)
Wtedy, jeśli przyjmiemy
\(\displaystyle{ p = \frac{n}{m}, \ n, m \mathbb{Z}, \ m\neq 0}\)
to:
\(\displaystyle{ q = \frac{a}{b} - \frac{n}{m} = \frac{am - bn}{mn}\in \mathbb{Q}}\)
co stoi w sprzeczności z założeniem o niewymierności \(\displaystyle{ q}\), więc \(\displaystyle{ p + q}\) musi być liczbą niewymierną.

c) \(\displaystyle{ (*)\quad (\sqrt{p} + q)^{2} = p + q^{2} + 2q\sqrt{p}}\)
ale jeśli:
\(\displaystyle{ 2q\sqrt{p} = \frac{a}{b}, \ a,b \mathbb{Z}, \ b\neq 0}\)
to przyjmując:
\(\displaystyle{ q = \frac{n}{m}, \ m,n \mathbb{Z}, \ m\neq 0}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ \sqrt{p} = \frac{am}{2bn}\in \mathbb{Q}}\)
(z założenia \(\displaystyle{ q\neq 0}\), więc możemy przez tę liczbę podzielić obie strony)
co stoi w sprzeczności z założeniem o niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\), czyli \(\displaystyle{ 2q\sqrt{p}}\) jest niewymierne, a ponieważ \(\displaystyle{ (*)}\) to na mocy a) i b) dostajemy tezę.
Ostatnio zmieniony 3 wrz 2007, o 17:03 przez max, łącznie zmieniany 1 raz.

Kris-0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 399
Rejestracja: 24 gru 2006, o 11:16
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 82 razy

Pokazanie przynależności liczby do zbioru

Post autor: Kris-0 » 3 wrz 2007, o 15:27

Pozwól, że napiszę jak to rozumiem a Ty orzekniesz czy dobrze czy źle
a)
Jeżeli \(\displaystyle{ a,b \mathbb{Z}}\) to \(\displaystyle{ a+b \mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ ab \mathbb{Z}}\) za czym idzie, że np. liczba \(\displaystyle{ x=\frac{a+b}{ab}}\) jest liczbą wymierną (\(\displaystyle{ x \mathbb{Q}}\))

b)
Tutaj czysto teoretycznie. Jeżeli liczba powstała w wyniku dodawania dwóch liczb: p-będącej liczba wymierną i liczby q, jest liczba wymierną to znaczy, ze q jest liczbą wymierną co jest sprzeczne z warunkami zadania - dlatego powstała liczba jest liczbą niewymierna.

c)
max pisze:\(\displaystyle{ (\sqrt{p}+q)^2 = p+q+2q\sqrt{p}}\)
chyba zgubiłeś kwadrat przy q, ale to nie ma znaczenia w zadaniu.

Liczba q jest wymierna. Gdyby liczba \(\displaystyle{ x=2q\sqrt{p}}\) byłaby wymierna to liczba \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) też musiala by być wymierna, co jest sprzeczne z warunkami zadania, więc liczba x musi być niewymierna.
korzystając z a) "wymierna + wymierna = wymierna" i b) "wymierna + niewymierna = niewymierna" potwierdzamy tezę.

Jeszcze jedno pytanie:
czy jeśli pomnożymy liczbę wymierną, przez liczbę niewymierną to otrzymamy liczbę niewymierną, prawda? Czy można to bylo zastosować do zadania dla przykladu c)?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Pokazanie przynależności liczby do zbioru

Post autor: max » 3 wrz 2007, o 17:11

Dobrze myślisz, z tym, że przykład b) można rozpisać zupełnie analogicznie jak a) i tylko dlatego potraktowałem go pobieżnie.

Za zgubiony kwadrat przepraszam, już zresztą znalazł się on na swoim miejscu.

A co do pytania - zgoda, nietrudno coś takiego wykazać (proponuję spróbować), ale tylko jeśli dodamy założenie, że liczba wymierna jest różna od zera.

Pozdrawiam

Kris-0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 399
Rejestracja: 24 gru 2006, o 11:16
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 82 razy

Pokazanie przynależności liczby do zbioru

Post autor: Kris-0 » 3 wrz 2007, o 20:08

Dziekuję za pomoc w temacie . Nigdy nie rozwiązywalem tego typu zadań, ale teraz okazuje się, że nie jest to takie trudne - trzeba dobrze znać definicje i pomysł jak coś wykazać.

ODPOWIEDZ