całka przez podstawienie

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

całka przez podstawienie

Post autor: mostostalek » 3 wrz 2007, o 13:15

hej.. mam za zadanie obliczyć całkę używając podstawienia trygonometrycznego

\(\displaystyle{ \int\frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx}\)

no to lecim

\(\displaystyle{ x=\sin{t}}\)
\(\displaystyle{ dx=\cos{t}dt}\)

podstawiając otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \int\frac{\cos^{2}{t}}{\sin^{2}{t}}dt}\)
moge zamienic \(\displaystyle{ \cos^{2}{t}=1-sin^{2}{t}}\)
ale i tak nie wiem co z tym dalej.. jakaś pomoc??
poza tym wydaje mi się że bym to szybciej przez zwykłe podstawienie policzył.. no może się mylę nie próbowałem

Temat nie powinien zawierać wzorów matematycznych. luka52
Ostatnio zmieniony 3 wrz 2007, o 13:22 przez mostostalek, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

całka przez podstawienie

Post autor: bolo » 3 wrz 2007, o 13:19

Dalej masz już tylko elementarne całki.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka przez podstawienie

Post autor: luka52 » 3 wrz 2007, o 13:32

Można też podstawić: \(\displaystyle{ t = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}\)
Wtedy całka sprowadza się do:
\(\displaystyle{ - t \frac{t^2 \, \mbox{d}t}{1+t^2} = -t + \arctan t + C = C - \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} + \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}\)
Taka ciekawostka

mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

całka przez podstawienie

Post autor: mostostalek » 3 wrz 2007, o 14:31

bolo jak napisze hudzikowi, że dalej są już tylko elementarne całki to mnie obleje

ja nie widze nic elementarnego w \(\displaystyle{ \int\frac{1}{\sin^{2}{x}}}\)

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

całka przez podstawienie

Post autor: bolo » 3 wrz 2007, o 14:36

To ja wiem, chociaż z nim nie miałem zajęć

\(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}x}{\sin^{2}x}=-\cot{x}+C}\) czyż nie?

Ściślej mówiąc:

\(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}x}{\sin^{2}x}=\int\frac{1+\tan^{2}x}{\tan^{2}x}\mbox{d}x\stackrel{x=\arctan{t}}{=}\int\frac{\mbox{d}x}{t^{2}}=-\frac{1}{t}+C=-\cot{x}+C}\)

ODPOWIEDZ