Matematyka.pl

1) \(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2}+x+3}- \sqrt{x ^{2}-x-1}}\)
Po przekształceniu wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{x(2+ \frac{4}{x})}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x}+ \frac{3}{x^{2}}}+ \sqrt{1- \frac{1}{x}- \frac{1}{ x^{2} } } }}\) co daje granicę przy \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty = 1}\).
Podobno rozwiązanie jest niepełne, a nie wiem czego tu brak.

2) \(\displaystyle{ \frac{5^{x-1}-3 ^{x+2}}{3 ^{x-1}+2 ^{2x+1}}}\)
Po podzieleniu licznika i mianownika przez \(\displaystyle{ 4^{x}}\) wychodzi mi \(\displaystyle{ +\infty}\)
Podobno tu też czegoś brakuje, tylko znowu nie wiem czego :/

Może mi po prostu już mózg paruje i zapominam o podstawowych rzeczach. Jeśli ktoś mógłby mnie oświecić, to byłbym niezwykle wdzięczny.

W zapisie pierwszego może chodzi o moduł z "x" w mianowniku (a żartując na końcu nawiasu).
Natomiast przy drugim nie napisałeś do czego dąży "x", bo jeżeli do plus nieskończoności, to powinno być OK.

A jak to zrobić, jeśli w obu przypadkach x by dążył do \(\displaystyle{ -\infty}\)?

Pierwszy przykład prawie identycznie, tylko że
dla \(\displaystyle{ x<0}\) mamy \(\displaystyle{ x={\red -} \sqrt{x^{2}}}\), poza tym wszystko tak samo.

Drugi przykład: zauważ, że gdy \(\displaystyle{ x}\) jest ujemny, to "dominuje" ten wyraz, w którym jest najmniejsza podstawa (gdyż wykładniki są ujemne dla dostatecznie małych \(\displaystyle{ x}\) ujemnych). Podziel zatem licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 3^{x-1}}\). Reszta to arytmetyka granic.