rozkład wielomianu na czynniki

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

rozkład wielomianu na czynniki

Post autor: mateusz200414 » 3 wrz 2007, o 11:38

cześć

mam kłopot z rozkładem tego wielomianu, możecie pomóc?

\(\displaystyle{ x^8+x^4+1}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

rozkład wielomianu na czynniki

Post autor: Emiel Regis » 3 wrz 2007, o 11:43

\(\displaystyle{ x^8+x^4+1=(x^4+1)^2-(x^2)^2}\)
i teraz ze wzoru na różnicę kwadratów.

mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

rozkład wielomianu na czynniki

Post autor: mateusz200414 » 3 wrz 2007, o 14:42

dziękuję bardzo!

mam kolejny "problemowy" wielomian:

\(\displaystyle{ x^4+x^3+5x^2-2x+28}\)

i jeszcze jeden... \(\displaystyle{ p^3+6p^2+11p-6}\)

liczę na waszą pomoc
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2007, o 15:39 przez mateusz200414, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

rozkład wielomianu na czynniki

Post autor: Tristan » 4 wrz 2007, o 14:15

Pierwszy z wielomianów nie posiada pierwiastków rzeczywistych. Zauważ, że \(\displaystyle{ x^4 + x^3 +x^2 + 4x^2 -2x+28=x^2 (x^2 +x+1) + 2(2x^2 -x+14)}\) i wyciągnij stosowne wnioski.
Wielomianu tego nie możemy więc przedstawić w postaci czynników liniowych, więc na pewno istnieje rozkład taki \(\displaystyle{ x^4 +x^3 +5x^2 -2x +28=(x^2 + bx+c)(x^2 +dx+e)}\). Wymnóż więc prawą stronę, porównaj współczynniki a dostaniesz odpowiednie wartości b,c,d,e.
Co do drugiego wielomianu, to popraw zapis, bo jest on niejednoznaczny.

mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

rozkład wielomianu na czynniki

Post autor: mateusz200414 » 4 wrz 2007, o 15:40

dziękuję.

Mam do Ciebie Tristan jedno pytanie, kiedy mogę korzystać z takiego "sposobu" rozkładu wielomianu jaki Ty przedstawiłeś?

edit:

mam kłopot, czy otrzymujecie taki wielomian?

\(\displaystyle{ x^4+(d+b)x^3+(bd+c+e)x^2+(be+cd)x+ce=x^4-4x^3+15x^2-22x+28}\)?
jak chciałem ułożyć równania (układ), to takie kobyły mi powychodziły, że normalnie strach...

czy mam to dobrze i po prostu trzeba ten układ rozwiązać?

liczę na Waszą pomoc

[ Dodano: 6 Września 2007, 20:31 ]
może mi ktoś pomóc?

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

rozkład wielomianu na czynniki

Post autor: Tristan » 7 wrz 2007, o 16:36

Możesz z tego skorzystać wtedy, gdy nie ma żadnych czynników liniowych. Istnieje bowiem twierdzenie, które orzeka: Każdy niezerowy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.
Nasz wielomian nie ma żadnych pierwiastków rzeczywistych, więc nie ma w postaci iloczynu żadnych wielomianó stopnia pierwszego. Dlatego musi się on składać z wielomianów stopnia drugiego.
Dobrze to obliczyłeś. Ale rzeczywiście rachunki później się komplikują. Dostajemy, że \(\displaystyle{ d=1-b , e= \frac{28}{c}}\). Podstawiając to do drugiego i trzeciego równania otrzymujemy układ \(\displaystyle{ c^2 +(-b^2 +b-5)c +28=0 b=\frac{c^2 +2c}{ c-28}}\). Jednak wyznaczenie z tych dwóch równań b i c wydaje mi się zajęciem bardzo pracochłonnym, o ile w ogóle możliwym.

mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

rozkład wielomianu na czynniki

Post autor: mateusz200414 » 7 wrz 2007, o 16:43

dziękuję za odpowiedź

zaznaczyłeś, że jest to zadanie pracochłonne, stąd też moje pytanie czy jest inna możliwość rozwiązania tego wielomianu

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

rozkład wielomianu na czynniki

Post autor: Tristan » 12 wrz 2007, o 12:55

Jeśli jest to zadanie z jakiegoś zbioru zadań, to pewnie jest też jakaś "trikowa" metoda rozłożenia go, bądź po prostu komuś się tam współczynniki pomyliły

mateusz200414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 280
Rejestracja: 30 mar 2007, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kartuzy
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 1 raz

rozkład wielomianu na czynniki

Post autor: mateusz200414 » 12 wrz 2007, o 15:36

to zadanie jest ze zbioru w odpowiedzi tylko wynik końcowy

zna może ktoś "trickową" metodę?

Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

rozkład wielomianu na czynniki

Post autor: Lider_M » 12 wrz 2007, o 15:41

Możemy (co do tego układu) dodatkowo założyć, że te współczynniki \(\displaystyle{ b,c,d,e}\) są całkowite. Jeżeli wtedy wyjdzie, to jest O.K., a jeżeli nie wyjdzie... no lepiej żeby wyszło xD

ODPOWIEDZ