różniczkowalność

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
magdamala20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 29 cze 2007, o 17:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: głubczyce

różniczkowalność

Post autor: magdamala20 » 3 wrz 2007, o 11:38

Uzasadnij że funkcja \(\displaystyle{ f:R^{2} R}\)


\(\displaystyle{ F(x,y)=\begin{cases} \frac {xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}, (x,y)\neq(0,0)\\0, (x,y)=(0,0)\end{cases}}\)
nie jest różniczkowalna w punkcie (0,0)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

różniczkowalność

Post autor: Kasiula@ » 3 wrz 2007, o 13:08

DEF.
funkcja f jest różniczkowalna w punkcie \(\displaystyle{ (x_{o},y_{o})}\) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \lim_{(\Delta x, \Delta y) (0,0)} \frac{f(x_{o}+ \Delta x, y_{o}+\Delta y)-f(x_{o},y_{o})-\frac{\partial f}{\partial x}(x_{o},y_{o})\Delta x -\frac{\partial f}{\partial y}(x_{o},y_{o})\Delta y }{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=0}\)

1. Konieczne jest wczesniej policzenie pochodnych cząstkowych \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0), \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}\). Pomieważ funkcja f jest zdefiniowana dwoma wzorami,więc te pochodne cząstkowe nalezy policzyc z definicji,czyli:
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{\Delta x 0} \frac{f(0+ \Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} =0}\)
Analogicznie \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0}\)

2.\(\displaystyle{ \lim_{(\Delta x, \Delta y) (0,0)} \frac{f(0+ \Delta x, 0+\Delta y)-f(0,0)-0\Delta x -0\Delta y }{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=\lim_{(\Delta x, \Delta y) (0,0)} \frac{\Delta x (\Delta y)^{2}}{[(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}]^{\frac{3}{2}}}}\)
Pokażemy,że ostatnia granica nie jest równa 0. Niech \(\displaystyle{ (\Delta x_{n}, \Delta y_{n})=(\frac{1}{n},\frac{1}{n})}\) dla \(\displaystyle{ n N}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \lim_{n }(\Delta x_{n}, \Delta y_{n})=(0,0)}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \lim_{n } \frac{\Delta x_{n} (\Delta y_{n})^{2}}{[(\Delta x_{n})^{2}+(\Delta y_{n})^{2}]^{\frac{3}{2}}}=\lim_{n } \frac{\frac{1}{n^{3}}}{(\frac{2}{n^{2}})^{\frac{3}{2}}}=\lim_{n } \frac{1}{2\sqrt{2}} \not =0}\)

magdamala20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 29 cze 2007, o 17:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: głubczyce

różniczkowalność

Post autor: magdamala20 » 3 wrz 2007, o 16:58

dziękuje ślicznie za pomoc:) pozdrawiam;)

ODPOWIEDZ