Matematyka.pl

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) istnieje taka liczba \(\displaystyle{ n}\) cyfrowa \(\displaystyle{ x}\), że każda jej cyfra jest niezerowa i \(\displaystyle{ x}\) jest podzielne sumę swoich cyfr.

Wydaje mi się, że jest to ciekawe zadanie i chyba można je rozwiązać na wiele sposobów.

ElEski pisze:

Ukryta treść:    

suma cyfr \(\displaystyle{ =2^{k}}\)

Ujawnisz co chciałeś przez to powiedzieć?

Z wielką chęcią.
Idea jest taka, że jak weźmiemy sobie jakieś \(\displaystyle{ 2^{k} \in (2n,8n)}\), to:
1.) \(\displaystyle{ k<<n}\),
2.) Podzielność liczby jakiejś przez \(\displaystyle{ 2^{k}}\) to tak naprawdę podzielność jej k-cyfrowego suffixu przez \(\displaystyle{ 2^{k}}\)

Więc ustaliwszy \(\displaystyle{ k}\) bierzemy sobie jakiś losowy* suffix k-cyfrowy podzielny przez \(\displaystyle{ 2^{k}}\), a resztę cyfr uzupełniamy tak, żeby nam się suma zgodziła. Uda się to, bo jak uzupełnimy samymi jedynkami, to suma cyfr będzie mniejsza niż \(\displaystyle{ 2^{k}}\), a jak samymi dziewiątkami, to większa.
Oczywiście to się może sypać dla jakichś bardzo małych \(\displaystyle{ n}\), *-ten suffix nie jest tak do końca losowy, bo nie może mieć zer. No ale można zbudować liczbę x-cyfrową z samych 6 i 9 podzielną przez \(\displaystyle{ 2^{x}}\). Jak to jest możliwe? Indukcyjnie, startujemy od samej szóstki i w kroku doklejamy na początek naszej liczby 6 albo 9, zależnie od tego, czy "dzieliła się tez przez wyższą potęgę 2, czy nie"

Niestety żadne x66 ani x69 nie dzieli się przez 4

Na szczęście
6 dzieli się przez 2,
96 dzieli się przez 4,
696 dzieli się przez 8,
9696 dzieli się przez 16,
69696 dzieli się przez 32,
669696 dzieli się przez 64.

Ok, sorry