Twierdzenie Greena ze zwykłej funkcji

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
Kaktusiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm Śląski
Podziękował: 16 razy

Twierdzenie Greena ze zwykłej funkcji

Post autor: Kaktusiewicz » 2 wrz 2007, o 21:29

Witam,
zastanawiam się nad zadaniem:
Obliczyć \(\displaystyle{ \oint_L\left[f(x+y)+f(x-y)\right]dx+\left[f(x+y)-f(x-y)\right]dy}\), gdzie L - okrąg \(\displaystyle{ x^2+y^2=R^2}\) zorientowany dodatnio. \(\displaystyle{ f: R -> R}\). (Wskazówka: skorzystać z tw. Greena).
Zadanie wydaje się banalne, ale po zastosowaniu twierdzenia Greena otrzymujemy pochodne funkcji f po x i y (różne) i jak sobie z tym poradzić?
Z góry dziękuję za odpowiedzi.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Twierdzenie Greena ze zwykłej funkcji

Post autor: luka52 » 2 wrz 2007, o 22:24

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ P(x,y) = f(x+y) + f(x-y), \quad Q(x,y) = f(x+y) - f(x-y)}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ P_y'(x,y) = f'(x+y) - f'(x-y)\\
Q_x'(x,y) = f'(x+y) - f'(x-y)}\)

Czyli \(\displaystyle{ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}}\), a całka po krzywej zamkniętej jest równa \(\displaystyle{ 0}\).

Kaktusiewicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 21 kwie 2007, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm Śląski
Podziękował: 16 razy

Twierdzenie Greena ze zwykłej funkcji

Post autor: Kaktusiewicz » 3 wrz 2007, o 08:49

I jest to obojętne, czy funkcja f (wewnętrzna \(\displaystyle{ Q(x,y)}\) i \(\displaystyle{ P(x,y)}\))jest różniczkowana po x lub po y?

ODPOWIEDZ