Matematyka.pl

Gracz wypełnił dwa kupony totolotka. Na każdym skreślił inne sześć liczb. Może nadać te kupony tak, aby wzięły udział w jednym losowaniu lub w dwu różnych (np. kolejnych). Jaką decyzję gracz powinien podjąć, aby mieć większe szanse na wygraną?

Jedyne co na razie potrafię zrobić to policzyć moc przestrzeni zdarzeń: \(\displaystyle{ | \Omega | = {49 \choose 6}}\).

Dwa kupony w jednym losowaniu. Wtedy prawdopodobieństwo wygranej wynosi \(\displaystyle{ 2p}\), natomiast w drugim przypadku prawdopodobieństwo wygranej wynosi \(\displaystyle{ p + p(1-p)}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) to prawdopodobieństwo wygranej dla jednego losu i wynosi ono \(\displaystyle{ 1 \setminus {49\choose 6}}\). Wtedy \(\displaystyle{ p+p(1-p)<p + p = 2p}\), czyli faktycznie większe prawdopodobieństwo jest dla dwu losów w jednym losowaniu.

A potrafiłbyś wytłumaczyć mi skąd się wzięły te wyniki? W jaki sposób uzyskałeś \(\displaystyle{ p+p(p-1)}\)?

Jeżeli zagra w dwóch losowaniach, to wygrywa z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1 - (1 - p)^2 = 2p - p^2}\). Jeżeli w jednym - \(\displaystyle{ 2p}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) to oczywiście \(\displaystyle{ 1 / 13983816}\).

Ale może dwa razy wygrać . Pytanie o wartość oczekiwaną wydaje się ciekawsze

Jeszcze nie do końca rozumiem, dlatego proszę o ciut objaśnienia.

Prawdopodobieństwo wygrania w sytuacji pierwszej to \(\displaystyle{ \frac{1+1}{ {49 \choose 6}}}\). Dla przejrzystości zapisu przyjmujemy \(\displaystyle{ \frac{1}{{49 \choose 6}}=p}\).
Przy jednym losowaniu mamy więc \(\displaystyle{ 2p}\), co bierze się z tego, że mamy DWA zupełnie różne kupony.