Moc zbiorów

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Awatar użytkownika
Sokół
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 451
Rejestracja: 17 wrz 2006, o 19:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 55 razy

Moc zbiorów

Post autor: Sokół » 2 wrz 2007, o 11:08

czy zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych?
W odwrotną stronę można zrobić coś takiego:
zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, bo może istnieć funkcja przekształcająca C na N - np. f(n)=|n|. I tak się zrobi z każdą ujemną liczbą całkowitą, tzn. weźmie z niej wartość bezwzględną. Ale np. z całkowitych liczb nieujemnych nie trzeba brać wartości bezwzględnej, więc mamy jakby dwa takie same elementy f(2)=|2| i f(-2)=|-2|, tzn. w obu przypadkach będzie 2.

I jeszcze w odwrotną stronę, nie wiem jak przekształcić zbiór liczb naturalnych na zbiór liczb całkowitych. Np. dwójkę z liczb N trzeba by przekształcać dwa razy, raz mnożyć przez 1 a raz przez minus jeden (żeby każdy element miał jakby swój odpowiednik)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Moc zbiorów

Post autor: max » 2 wrz 2007, o 11:28

(Zbiór liczb całkowitych oznacza się zazwyczaj jako \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) i tego oznaczenia będę używał. \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) oznacza zwykle zbiór liczb zespolonych)

[quote="Sokół"]W odwrotną stronę można zrobić coś takiego:
zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, bo może istnieć funkcja przekształcająca C na N[/quote]

To dowodzi jedynie, że moc zbioru liczb naturalnych jest nie większa od mocy zbioru liczb całkowitych.
Aby wykazać równoliczność dwóch zbiorów z definicji musisz znaleźć bijekcję (czyli funkcję jednocześnie 'na' i różnowartościową) z jednego zbioru w drugi.

Na przykład ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})_{n\in\mathbb{N}}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{2n} = n\\
a_{2n + 1} = -n\end{cases}}\)

jest bijekcją z \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\)
(zakładam, że \(\displaystyle{ 0\in\mathbb{N}}\)).

ODPOWIEDZ