Zbadać zbieżność całki

[Novy]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\Pi}{2}}cosx \,ln{(sinx)} \,\,\,dx}\)


zrobiłem podstawienie \(\displaystyle{ t=sinx}\), wartość całki mi wyszła -1.
Czy to już przesądza że jest zbieżna?

[luka52]

Tak, całka jest zbieżna do -1.

[eloar]

Co tu dokładnie oznacza, że całka jest zbieżna? Funkcja nie jest określona dla 0, a więc należałoby policzyć granicę chyba? Czy podstawienie już wystarczy?

[luka52]

No tak - należy obliczyć granicę, a dokładniej to:
\(\displaystyle{ \lim_{\epsilon \to 0^+} ft( -1 - \sin \epsilon (\ln |\sin \epsilon| - 1) \right) = -1}\)

[Novy]

a taka zbieżność?

\(\displaystyle{ \int_{1}^{+\infty}\,(\sqrt{4x^{2}+1}-2x)\,dx}\)


wyszło mi że rozbieżna. Zrobiłem z porównawczego (pierwiastek w moduł, bo musimy działać na dodatnich liczbach), znalazłem minorantę, która była rozbieżna... Hm?




I jeszcze jedno, którego nie mogę rozkminić:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty}\,\frac{\sqrt{2+cos^{2}x}}{x}\,dx}\)

[luka52]

Tak - pierwsza jest rozbieżna, a drugą porównujesz z \(\displaystyle{ \int\limits_0^{+\infty} \frac{\mbox{d}x}{x}}\).

[Novy]

czyli też będzie rozbieżna.
dzieki!