Zbadać zbieżność całki

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Zbadać zbieżność całki

Post autor: Novy » 1 wrz 2007, o 19:58

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\Pi}{2}}cosx \,ln{(sinx)} \,\,\,dx}\)


zrobiłem podstawienie \(\displaystyle{ t=sinx}\), wartość całki mi wyszła -1.
Czy to już przesądza że jest zbieżna?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Zbadać zbieżność całki

Post autor: luka52 » 1 wrz 2007, o 20:32

Tak, całka jest zbieżna do -1.

Awatar użytkownika
eloar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kobyłka
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 12 razy

Zbadać zbieżność całki

Post autor: eloar » 2 wrz 2007, o 00:01

Co tu dokładnie oznacza, że całka jest zbieżna? Funkcja nie jest określona dla 0, a więc należałoby policzyć granicę chyba? Czy podstawienie już wystarczy?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Zbadać zbieżność całki

Post autor: luka52 » 2 wrz 2007, o 00:04

No tak - należy obliczyć granicę, a dokładniej to:
\(\displaystyle{ \lim_{\epsilon \to 0^+} ft( -1 - \sin \epsilon (\ln |\sin \epsilon| - 1) \right) = -1}\)

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Zbadać zbieżność całki

Post autor: Novy » 2 wrz 2007, o 13:06

a taka zbieżność?

\(\displaystyle{ \int_{1}^{+\infty}\,(\sqrt{4x^{2}+1}-2x)\,dx}\)


wyszło mi że rozbieżna. Zrobiłem z porównawczego (pierwiastek w moduł, bo musimy działać na dodatnich liczbach), znalazłem minorantę, która była rozbieżna... Hm?




I jeszcze jedno, którego nie mogę rozkminić:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty}\,\frac{\sqrt{2+cos^{2}x}}{x}\,dx}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Zbadać zbieżność całki

Post autor: luka52 » 2 wrz 2007, o 13:11

Tak - pierwsza jest rozbieżna, a drugą porównujesz z \(\displaystyle{ \int\limits_0^{+\infty} \frac{\mbox{d}x}{x}}\).

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Zbadać zbieżność całki

Post autor: Novy » 2 wrz 2007, o 13:33

czyli też będzie rozbieżna.
dzieki!

ODPOWIEDZ