Całki do rozwiązania

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Predatormk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 5 lut 2007, o 13:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 5 razy

Całki do rozwiązania

Post autor: Predatormk » 1 wrz 2007, o 18:44

Proszę o pomoc w rozwiązaniu całek, bo nie mam pomysłu na te przykłady.

1. \(\displaystyle{ \int \frac{\ln(\sin{x})}{\sin^{2}x}dx}\)
2. \(\displaystyle{ \int \frac{\sin{x}\cdot\cos^{3}{x}}{1+\cos^{2}{x}}dx}\)
3. \(\displaystyle{ \int \frac{x e^{\arctan{x}}}{(1+x^{2})^ \frac{3}{2}}dx}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Całki do rozwiązania

Post autor: soku11 » 1 wrz 2007, o 19:18

2)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sin{x}\cdot\cos^{3}{x}}{1+\cos^{2}{x}}dx =
t \frac{sinx cosx(1-sin^{2}x)}{2-sin^{2}x}dx\\
sinx=t\\
cosxdx=dt\\
t \frac{t(1-t^{2})}{2-t^{2}}dt=
t \frac{t(t^{2}-1)}{t^{2}-2}dt=
t \frac{t^{3}-t}{t^{2}-2}dt=
t \frac{t(t^{2}-2)+t}{t^{2}-2}dt=
t (\frac{t(t^{2}-2)}{t^{2}-2}+\frac{t}{t^{2}-2})dt=
t (t+\frac{t}{t^{2}-2})dt=\int tdt+\int \frac{t}{t^{2}-2}dt=
\frac{t^{2}}{2}+\int \frac{t}{t^{2}-2}dt\\
\\
t \frac{tdt}{t^{2}-2}\\
t^{2}-2=s\\
2tdt=ds\ \ \ tdt=\frac{1}{2}ds\\
\frac{1}{2}\int \frac{ds}{s}=\frac{1}{2} ln|s|=\frac{1}{2}ln|t^{2}-2|\\
\\
t \frac{\sin{x}\cdot\cos^{3}{x}}{1+\cos^{2}{x}}dx =
\frac{t^{2}}{2}+\frac{1}{2}ln|t^{2}-2|=\frac{1}{2}(t^{2}+ln|t^{2}-2|)=
\frac{1}{2}(sin^{2}x+ln|sin^{2}x-2|)}\)


Powinno byc OK. POZDRO

ODPOWIEDZ