zadanie z egzaminu

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
sandarak19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 cze 2007, o 09:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

zadanie z egzaminu

Post autor: sandarak19 » 1 wrz 2007, o 18:31

Znajdź promień zbieżności i podaj zbiór, w którym szereg:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}\)

jest zbieżny. Policz sumę tego szeregu w każdym punkcie zbieżności.Korzystając z obliczonej sumy uzasadnij równość:

\(\displaystyle{ \pi=6\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)3^{n}\sqrt{3}}}\)

Przedział zbieżności: \(\displaystyle{ x\in[-1;1]}\)
Suma: \(\displaystyle{ S(x)=\arctan x}\)

Takie mi wyszły wyniki. Ale nie bardzo wiem jak uzasadnic tą równość. Ma ktoś jakiś pomysł?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

zadanie z egzaminu

Post autor: max » 1 wrz 2007, o 18:44

Podstaw \(\displaystyle{ x = \frac{1}{\sqrt{3}}}\) i posłuż się otrzymanym wynikiem.

sandarak19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 cze 2007, o 09:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

zadanie z egzaminu

Post autor: sandarak19 » 2 wrz 2007, o 11:14

Gdzie mam wstawić ten ułamek i dlaczego akurat taką wartość, przybliż troche to prosze.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

zadanie z egzaminu

Post autor: max » 2 wrz 2007, o 11:17

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)3^{n}\sqrt{3}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n + 1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2n + 1} = \arctan ft(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \ldots}\)

sandarak19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 cze 2007, o 09:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

zadanie z egzaminu

Post autor: sandarak19 » 2 wrz 2007, o 11:36

Kapuje:) Dzięki wielkie

ODPOWIEDZ