Matematyka.pl

Wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\) ma w bazie \(\displaystyle{ B= \left\{ \vec{x} , \vec{y} , \vec{z} \right\}}\) współrzędne\(\displaystyle{ [1,2,1]}\) znaleźć współrzędne tego wektora w bazie \(\displaystyle{ D= \left\{ \vec{x}+\vec{y} , \vec{x}+\vec{z} ,\vec{y}+\vec{z} \right\}}\)

Zacząłem coś robić:
\(\displaystyle{ V= 1 * \vec{x} + 2 * \vec{y} + 1 * \vec{z}}\)
Przyjmijmy, że
\(\displaystyle{ \vec{x'} = \vec{x}+\vec{y}}\)
\(\displaystyle{ \vec{y'} = \vec{x}+\vec{z}}\)
\(\displaystyle{ \vec{z'} = \vec{y}+\vec{z}}\)

Jak doprowadzić to do postaci, która umożliwi wstawienie do równania?

Musisz rozwiązać równanie wektorowe:
\(\displaystyle{ V=a\cdot \vec{x'}+ b\cdot \vec{y'}+ c\cdot \vec{z'}}\), czyli
\(\displaystyle{ 1 \cdot \vec{x} + 2 \cdot \vec{y} + 1 \cdot \vec{z} = a\cdot (\vec x+\vec y)+ b\cdot (\vec x+ \vec z)+c\cdot (\vec y+\vec z)}\).

Rada: mnożenie możesz zapisywać komendą cdot.

Musisz kolego przedstawić nowe współrzędne za pomocą starych tzn:



\(\displaystyle{ \vec{x} = \vec{x'}+...}\)
\(\displaystyle{ \vec{y} = \vec{x'}+...}\)
\(\displaystyle{ \vec{z} = \vec{y'}+...}\)

A dopiero później ułożyć równania.

czyli
\(\displaystyle{ x+2y+z=(a+b)x+(a+c)y+(b+c)z}\)
więc
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=1\\
a+c=2\\
b+c=1 \end{cases}}\)

Szukany wektor to [1,0,1]
Poprawnie?

Tak, poprawnie.

Jeszcze dopowiem, że trochę niepokoi mnie to pytanie, czy jest to rozwiązanie poprawne, ponieważ oznacza, że tego nie rozumiesz. Rozważasz wektor o współrzędnych (1,0,1) w bazie x',y',z'. Co to jest za wektor? To jest wektor \(\displaystyle{ 1\cdot x'+1\cdot z'=(x+y)+(y+z)=x+2y+z}\), a więc Twój rozważany wektor. Zatem obliczyłeś dobrze.