Układ równań - wyznaczenie wzoru

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
szaman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 22 lis 2006, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 1 raz

Układ równań - wyznaczenie wzoru

Post autor: szaman » 1 wrz 2007, o 18:00

Szanowni Państwo

Miałbym prośbę, czy mógł by mi ktoś sprawdzić czy dobrze zrobiłem te zadanie:

Niech \(\displaystyle{ \varphi :\mathbb(R) \rightarrow \mathbb(R)}\) będzie określona wzorem:
\(\displaystyle{ \varphi (x) = \left\{\begin{array}{cc}2x^{2} - 3,\qquad x\leq -1 \\ -2x-3,\qquad x>-1 \end{array}\right}\)

a)Napisz wzór na \(\displaystyle{ \varphi^{-1}}\)
b)Napisz wzór na \(\displaystyle{ \varphi \circ \varphi}\)

Oto moje rozwiązanie:
a)

\(\displaystyle{ g(x) = 2x^{2}-3}\)
\(\displaystyle{ h(x) = 2x -3}\)
\(\displaystyle{ \varphi (x) = \left\{\begin{array}{cc} g(x) ,\qquad x\leq -1 \\ h(x),\qquad x>-1 \end{array}\right}\)
Obliczam: \(\displaystyle{ g^{-1}}\)

\(\displaystyle{ y=2x^{2} -3}\)
\(\displaystyle{ -2x^{2}=-3-y}\)
\(\displaystyle{ x^{2} = {3 \over 2}+ {1 \over 2}y}\)
\(\displaystyle{ x = \sqrt[]{{3 \over 2}+ {1 \over 2}y}}\)

Obliczam:\(\displaystyle{ h^{-1}}\)

\(\displaystyle{ y=-2x-3}\)
\(\displaystyle{ 2x=-3-y}\)
\(\displaystyle{ x=-{3 \over 2}- {1 \over 2}y}\)


\(\displaystyle{ \varphi^{-1} = ft\{\begin{array}{cc} \sqrt[]{{3 \over 2}+ {1 \over 2}y} ,\qquad x\geq -1 \\ -{3 \over 2}- {1 \over 2}y,\qquad xft\{\begin{array}{ccc} -4x^{2}+3 ,\qquad x< -1 \\-1 ,\qquad x= -1 \\ 8x^{2} -12x + 15,\qquad x>-1 \end{array}\right}\)


Z góry dziękuje za pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

Układ równań - wyznaczenie wzoru

Post autor: mostostalek » 2 wrz 2007, o 19:51

\(\displaystyle{ 3^{\circ}\quad dla \quad x >-1}\)
\(\displaystyle{ \varphi \circ \varphi (x) = \varphi (\varphi (x)) = \varphi (-2x -3) = 2(4x^{2} +12x+9)-3=8x^{2}+24x +15}\)
ostatecznie:

\(\displaystyle{ \varphi(\varphi(x)) = ft\{\begin{array}{ccc} -4x^{2}+3 ,\qquad x< -1 \\-1 ,\qquad x= -1 \\ 8x^{2} +24x + 15,\qquad x>-1 \end{array}\right}\)

ODPOWIEDZ