Matematyka.pl

Dany jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości x. Wierzchchołki tego trójkąta są środkami okręgów o promieniach \(\displaystyle{ \frac{x}{5}}\) . Wyznacz długość promienia okręgu stycznego do tych okręgów.

Okrąg styczny zewnętrznie: \(\displaystyle{ r_1= \frac{3x}{10}}\)
Okrąg styczny wewnętrznie: \(\displaystyle{ r_2= \frac{7x}{10}}\)

Czy są też inne możliwe okręgi ?

kerajs, skąd wzięły się te wartości?-- 16 maja 2016, o 18:30 --Czyżby przeciw prostokątna była średnicą?

kerajs pisze:Czy są też inne możliwe okręgi ?

Są:

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (-2,-1.5)--(2,-1.5)--(2,1.5)--cycle;
\draw (-2,-1.5)circle(1);
\draw (2,-1.5)circle(1);
\draw (2,1.5)circle(1);
\draw[red] (0,0)circle(1.5);
\draw[red] (0,0)circle(3.5);
\draw[red] (0,-2.06)circle(3.083);
\draw[red] (0,2.06)circle(3.083);
\draw[red] (1.325,0)circle(2.65);
\draw[red] (-1.325,0)circle(2.65);
\draw[red] (1,-1.35)circle(2);
\draw[red] (-2.82,-2.74)arc(-80:-20:8.64);
\end{tikzpicture}}\)
Jeden z okręgów (draw[red] (-4.33,5.77)circle(8.64);) nie mieści się cały (tikz nie chce go narysować, bo jest za duży), więc zaznaczyłem tylko łuk.

Łącznie jest osiem okręgów stycznych do tych z treści zadania. Podejrzewam jednak, że autor zadania miał małą wyobraźnię i chodziło mu tylko o ten okrąg, który jest styczny zewnętrznie do pozostałych, czyli ten o promieniu \(\displaystyle{ \frac{3x}{10}}\) (może też o ten o promieniu \(\displaystyle{ \frac{3x}{10}}\), ale to wątpliwe).

Warto jeszcze dodać, że bez znajomości boków tego trójkąta nie sposób określić ani promieni dodatkowych okręgów, które był uprzejmy pokazać andkom, ani ich ilości (najwięcej może ich być sześć, a najmniej dwa, przy tej treści zadania).

kerajs pisze: bez znajomości boków tego trójkąta nie sposób określić

z jednym wyjątkiem : przyprostokątne są sobie równe

jacdiag pisze: z jednym wyjątkiem : przyprostokątne są sobie równe

To nie jest żaden wyjątek, ale wybór konkretnego trójkąta, jednego z nieskończenie wielu możliwych. Podobnie jak wybranie konkretnego trójkąta (spełniającego treść zadania) do grafiki pozwoliło na obliczenie położenia środków dodatkowych okręgów stycznych oraz ich promieni.

Inny wybór i inna ilość dodatkowych okręgów stycznych:

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,-1)--(0,1)--(-4.5826,-1)--cycle;
\draw (0,-1)circle(1);
\draw (0,1)circle(1);
\draw (-4.5826,-1)circle(1);
\draw[red] (-2.2913,0)circle(1.5);
\draw[red] (-2.2913,0)circle(3.5);
\draw[blue] (0,-5.25)circle(5.25);
\draw[blue] (-1.1798,0)circle(2.5466);
\draw[blue] (-3.4027,0)circle(2.5466);
\end{tikzpicture}}\)

Edit:
W grafice andkoma trójkąt ma boki: \(\displaystyle{ x, \frac{3}{5}x, \frac{4}{5}x}\)
W grafice z tego postu trójkąt ma boki: \(\displaystyle{ x, \frac{2}{5}x, \frac{ \sqrt{21} }{5}x}\)

Niebieskie są okręgi których bez znajomości boków trójkąta nie sposób określić.

A co się zmieni gdy jedna z przyprostokątnych \(\displaystyle{ \le}\) \(\displaystyle{ \frac{x}{5}}\) ?

Brombal pisze:A co się zmieni gdy jedna z przyprostokątnych \(\displaystyle{ \le}\) \(\displaystyle{ \frac{x}{5}}\) ?

Gdy krótsza z przyprostokątnych jest mniejsza od \(\displaystyle{ \frac{2}{5}x}\) to są tylko dwa dodatkowe (niebieskie) okręgi.

Taki przykładowy trójkąt o bokach \(\displaystyle{ x, \frac{1}{5}x, \frac{2 \sqrt{6} }{5}x}\) :

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,-0.5)--(0,0.5)--(-4.899,-0.5)--cycle;
\draw (0,-0.5)circle(1);
\draw (0,0.5)circle(1);
\draw (-4.899,-0.5)circle(1);
\draw[red] (-2.4495,0)circle(1.5);
\draw[red] (-2.4495,0)circle(3.5);
\draw[blue] (-1.4248,0)circle(2.51);
\draw[blue] (-3.4742,0)circle(2.51);
\end{tikzpicture}}\)

To ja dopiszę jeszcze jedno bardzo fajne zadanie:

Na płaszczyźnie dane są trzy okręgi: a,b i c. Skonstruować (narysować używając tylko cyrkla i linijki) wszystkie okręgi styczne jednocześnie do a, b i c.