Ekstrema funkcji w danym przedziale

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Ekstrema funkcji w danym przedziale

Post autor: Novy » 1 wrz 2007, o 15:00

Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w \(\displaystyle{ (x,y): x^{2}+y^{2}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

Ekstrema funkcji w danym przedziale

Post autor: Kasiula@ » 3 wrz 2007, o 12:32

Dla danej funkcj mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=e^{-x^{2}-y^{2}}(-2x)(2x^{2}+y^{2})+e^{-x^{2}-y^{2}}(4x)=e^{-x^{2}-y^{2}}(-4x^{3}-2xy^{2}+4x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}=e^{-x^{2}-y^{2}}(-2y)(2x^{2}+y^{2})+e^{-x^{2}-y^{2}}(2y)=e^{-x^{2}-y^{2}}(-4yx^{2}-2y^{3}+2y)}\)
Zatem wobec warunku koniecznego (\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=0,\frac{\partial f}{\partial y}=0}\)) funkcja ta może mieć ekstrema tylko w punktach,w których:
\(\displaystyle{ \begin{cases}(1)(-4x^{3}-2xy^{2}+4x)=x(-4x^{2}-2y^{2}+4)=0 \\(2)(-4yx^{2}-2y^{3}+2y)=y(-4x^{2}-2y^{2}+2)=0\end{cases}}\)

Z (1) mamy: \(\displaystyle{ x=0 -4x^{2}-2y^{2}+4=0}\)
Z (2) mamy: \(\displaystyle{ y=0 -4x^{2}-2y^{2}+2=0}\)

Rozwiązując ten układ otrzymujemy zbiór punktów podejrzanych o ekstremum:
{(0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0)}.
Zauważmy,że punkty te należą do wnętrza rozważanego obszaru.
Zbadamy teraz funkcje f na okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=4}\). Zauważmy najpierw,że funkcja f spełnia warunek f(x,y)=f(-x,-y). Zatem badanie funkcji na okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=4}\) wystarczy ograniczyc do pierwszej i drugiej ćwiartki układu,a więc badania na półokręgu \(\displaystyle{ y=\sqrt{4-x^{2}}}\),gdzie \(\displaystyle{ x [-2,2]!!!}\). Mamy zatem:
\(\displaystyle{ g(x)=f(x,\sqrt{4-x^{2}})=e^{-4}(x^{2}+4)}\)
Funkcja kwadratowa g przyjmuje najmniejszą wartość (równą \(\displaystyle{ 4e^{-4}}\)) w punkcie x=0 (wtedy y=2) oraz wartość największą (równą \(\displaystyle{ 8e^{-4}}\)) w punkcie x=-2 i x=2 (wtedy y=0). Z porównania otrzymanych wartości w punktach (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0), (0,2), (0,-2), (2,0), (-2,0) wynika,że funkcja f osiąga najmniejszą wartość równą \(\displaystyle{ 4e^{-4}}\) w punktach (0,2),(0,-2), a wartość największą równą \(\displaystyle{ 2e^{-1}}\) w punktach (1,0),(-1,0).

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Ekstrema funkcji w danym przedziale

Post autor: Novy » 3 wrz 2007, o 16:34

dziękować

[ Dodano: 3 Września 2007, 18:50 ]
Kasiula@ pisze:Rozwiązując ten układ otrzymujemy zbiór punktów podejrzanych o ekstremum:
{(0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0)}.
Można prosić jeszcze podpowiedź jak do tego dojść, bo coś mi nie chce wyjść

ODPOWIEDZ