Matematyka.pl

Jak obliczyć granicę tej funkcji?
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\frac{1-\cos (x^2+y^2)}{(x^2+y^2)x^2y^2}}\)

Według odpowiedzi ona nie istnieje, ale dlaczego?

Jakieś własne próby? Przejście na współrzędne biegunowe może pomóc.

Jak przejdę na współrzędne biegunowe to mam \(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} \frac{1-\cos(r^2)}{\frac{1}{2}r^6\sin2\phi}}\)
Jednak jakoś mi to nic nie mówi...

No to podpowiem i popchnę to dalej:
\(\displaystyle{ \lim_{r \to 0} \frac{1-\cos(r^2)}{\frac{1}{2}r^6\sin2\phi} = \lim_{r \to 0} \frac{1-\cos(r^2)}{\frac{1}{2}r^6\sin2\phi} \frac{1 + \cos{(r^2)}}{1 + \cos{(r^2)}} = \lim_{r \to 0} \frac{1 - \cos^2{(r^2)}}{\frac{1}{2}r^6\sin2\phi (1 + \cos{(r^2)})} = \lim_{r \to 0} \frac{\sin^2{(r^2)}}{\frac{1}{2}r^6\sin2\phi (1 + \cos{(r^2)})}}\)

I teraz proponuję wykorzystać \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{\sin{t}}{t} = 1}\) i wyciągnąć odpowiednie wnioski.