Matematyka.pl

Witam! Proszę o wytłumaczenie zadania tego typu:
Zad1:
Udowodnij, że liczba dzieli się przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma
jej cyfr dzieli się przez 9.
Zad2:
. Co jest ostatnią cyfrą liczby:
\(\displaystyle{ 2 ^{30} , 7 ^{45} , 3 ^{53}}\)
Podpowiedz: Wylicz resztę z dzielenia przez 10 korzystając z praw udowodnionych
w zadaniu 2.

1. Zadanie polega na zapisaniu liczby w postaci dziesiątkowej i pokazaniu, że kolejne potęgo \(\displaystyle{ 10}\) dają resztę \(\displaystyle{ 1}\) w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 9}\) (także przez \(\displaystyle{ 3}\)).

2. \(\displaystyle{ 2^{10}=1024}\), więc reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ 10}\) to \(\displaystyle{ 4}\). Masz \(\displaystyle{ 2^{30}=(1024)^3}\), więc reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ 10}\) jest taka sama jak reszta z dzielenia \(\displaystyle{ 4^3=64}\) przez \(\displaystyle{ 10}\). Pozostałe przykłady zrób podobnie.

Zad.2.
Może trochę inaczej:
\(\displaystyle{ 2 ^{1} =2}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{2} =4}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{3} =8}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{4} =16}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{5} =32}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{6} =64}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{7} =128}\)
\(\displaystyle{ itd.}\)
Widzisz jakąś zależność pomiędzy ostatnimi cyframi? Analogicznie do innych potęg,