Rzędy elementów

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
szaman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 22 lis 2006, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 1 raz

Rzędy elementów

Post autor: szaman » 31 sie 2007, o 23:03

Szanowni Państwo

Na początek chciałbym przeprosić moderatorów i administratora za to że może umieściłem post w złej kategorii i prosiłbym w tej sytuacji o przeniesienie go do właściwej.

Miałbym prośbę, czy mógł by mi ktoś wytłumaczyć jak się oblicza rzędy elementów dla przykładu z tego \(\displaystyle{ g}\)

\(\displaystyle{ g = ft( \begin{array}{cccccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
3 & 10 & 5 & 2 & 6 & 1 & 9 & 4 & 7 & 8 \\
\end{array}\right)}\)


Z góry dziękuje za pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

Rzędy elementów

Post autor: Kasiula@ » 1 wrz 2007, o 10:51

Pierwsza metoda,to ma piechotę. Składamy permutacje tyle razy,aż dostaniemy identyczność. Czasem może okazać się pracochłonna,gdy element jest np rzedu 20.

Druga metoda wydaje mi się,że jest mniej pracochłonna i przyjemniejsza.
Zapisujemy dana permutację za pomocą cykli,czyli:
\(\displaystyle{ g=(1,3,5,6) \circ (2,10,8,4) \circ (7,9)}\)
Wprowadzmy oznaczenia:
a=(1,3,5,6), b=(2,10,8,4), c=(7,9)
Ponieważ rząd cyklu jest równy jego długości,więc:
\(\displaystyle{ a^{4}=a \circ a \circ a \circ a =id, b^{4}=b \circ b \circ b \circ b =id, c^{2}= c \circ c =id}\)
Zatem łatwo zauważyć,że \(\displaystyle{ g^{4}=id}\),bo:
\(\displaystyle{ g^{2}=a^{2} \circ b^{2} \circ c^{2}= a^{2} \circ b^{2} \not = id}\)
\(\displaystyle{ g^{3}=a^{3} \circ b^{3} \circ c \not = id}\)
\(\displaystyle{ g^{4}= a^{4} \circ b^{4} \circ c^{2} = id \circ id \circ id =id}\)
Stąd rząd elementu g jest równy 4.

szaman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 22 lis 2006, o 10:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa
Podziękował: 1 raz

Rzędy elementów

Post autor: szaman » 1 wrz 2007, o 11:20

Dzięki wielkie za pomoc

Dla pewności jeśli by miał dane takie \(\displaystyle{ h}\)

\(\displaystyle{ h = ft( \begin{array}{cccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
6 & 4 & 1 & 3 & 7 & 2 & 5 \\
\end{array}\right)}\)



\(\displaystyle{ h=(1,6,2,4,3) \circ (5,7)}\)
\(\displaystyle{ a^{5} = a \circ a \circ a \circ a \circ a = id, b^{2} = b \circ b =id}\)
\(\displaystyle{ h^{5} = id}\)
to jego rząd elementów będzie równy 5 tylko nie wiem czemu w przykładzie który mieliśmy podany przez wykladowce wynik był 10

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

Rzędy elementów

Post autor: Kasiula@ » 1 wrz 2007, o 11:52

Rząd h jest równy 10.
Zobacz:
\(\displaystyle{ h^{5}=a^{5} \circ b^{5}= id \circ b^{2} \circ b^{2} \circ b = b \not = id}\)
Dopiero
\(\displaystyle{ id=h^{10}= a^{10} \circ b^{10}= (a^{5})^{2} \circ (b^{2})^{5}= id \circ id}\)
Najlepiej sobie to zawsze rozpisać.
----------------------------------
Lemacik
Jeżeli \(\displaystyle{ g=a_{1} \circ ... \circ a_{n}}\),rząd \(\displaystyle{ a_{i}=k_{i}}\) dla i=1,...,n oraz \(\displaystyle{ k_{i},k_{j}}\) (dla \(\displaystyle{ i \not = j}\)) są względnie pierwsze to rząd elementu g jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności \(\displaystyle{ k_{i},k_{j}}\)
----------------------------------
Ten lemat mozna zastosować do elementu h, bo (2,5)=1,czyli \(\displaystyle{ \circ (h)=NWW[2,5]=10}\)

ODPOWIEDZ