[LIX OM] I etap

Dla wtajemniczonych;) Największa impreza dla matematyków poniżej studiów, czyli Olimpiada Matematyczna oraz Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów.
Awatar użytkownika
dabros
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1121
Rejestracja: 2 cze 2006, o 21:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 4 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: dabros » 11 gru 2007, o 00:15

a ja chętnie bym zobaczył pełne rozwiązanie 9 i może jeszcze 11?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: Piotr Rutkowski » 11 gru 2007, o 00:17

Ja nie wysłałem zadania 10, bo nie umiałem ładnie zapisać. Na intuicję wyszło ładnie, ale... zapis mnie przerósł:
Moje przemyślenia:
Rozważamy sobie:
\(\displaystyle{ a_{1}\neq n^{p}}\)
Teraz Weźmy takie k, żeby zachodziło:
\(\displaystyle{ k^{p}}\)
Ostatnio zmieniony 11 gru 2007, o 20:19 przez Piotr Rutkowski, łącznie zmieniany 1 raz.

HawaT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 23 paź 2006, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock

[LIX OM] I etap

Post autor: HawaT » 11 gru 2007, o 00:24

Ja mam nieco dluzej 9-te
1 Pokazuje ze dla a=0 warunki zadania zachodza ( szybko idzie z Jensena )
2 Sprawdzam co sie stanie dla a

pog
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 26 lut 2007, o 16:52
Płeć: Mężczyzna

[LIX OM] I etap

Post autor: pog » 11 gru 2007, o 01:03


Awatar użytkownika
dabros
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1121
Rejestracja: 2 cze 2006, o 21:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 4 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: dabros » 11 gru 2007, o 01:05

sorry "pog", ale czy możesz zamieścić w podobny sposób zadanie 9 i 11
bedę wdzieczny.. a 10 przyznaje zrobiles ciekawie, choc ja mam inaczej

pog
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 26 lut 2007, o 16:52
Płeć: Mężczyzna

[LIX OM] I etap

Post autor: pog » 11 gru 2007, o 01:06

zadanie 9

a 11 i 12 wam nie pokażę bo mój opis jest obrzydliwy i się wstydzę

Awatar użytkownika
dabros
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1121
Rejestracja: 2 cze 2006, o 21:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 4 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: dabros » 11 gru 2007, o 01:10

to może chociaż prywatnie na maila: micdab@onet.eu ?? co ty na to?

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: Sylwek » 11 gru 2007, o 01:15

Rozrysuj sobie kolego na kartce - po tym co napisałem już na 90% powinieneś zrobić , szukaj czworokątów, w których suma kątów przy przeciwległych wierzchołkach wynosi 180* i pamiętaj, że przez 3 niewspółliniowe punkty przechodzi tylko jeden okrąg

pog, zadanie 9. masz podobnie do mnie, tylko ja mam trochę krócej , mianowicie gdy \(\displaystyle{ x+y q 2}\), to możemy zapisać \(\displaystyle{ x=n+k}\), \(\displaystyle{ y=n-k}\) (gdzie \(\displaystyle{ 3-z=2n}\)), a następnie:

\(\displaystyle{ x^3+y^3=(n+k)^3+(n-k)^3=2n^3+6nk^2}\)
Minimum gdy k=0 , to tak skrótowo, a potem już podobnie do Ciebie nierówność wielomianowa. Zadanie 10. przejrzę później, zbyt późna teraz pora

jaco1024
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 6 gru 2007, o 04:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Czewa
Pomógł: 3 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: jaco1024 » 11 gru 2007, o 10:45

Macie zadanie 10 pokrótce

Ciąg jest ściśle rosnący, zatem istnieją takie \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ k}\), że:

\(\displaystyle{ k^p q a_m q (k+1)^p}\)

Niech \(\displaystyle{ m}\) będzie najmniejszą taką liczbą.
Wtedy:
\(\displaystyle{ a_m = k^p + r \qquad 0 q r < k\cdot p}\)

Zauważmy teraz, że:

\(\displaystyle{ (k+1)^p= k^p + =k^p + {p \choose 1}k^{p-1} + {p \choose 2}k^{p-2}+ ... + {p \choose p-1}k + 1 = k^p + a kp +1}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ a_{m+a}= a_m + a kp = (k+1)^p + r -1}\)
\(\displaystyle{ a_{jakies tam}= (k+2)^p + r - 2}\)
\(\displaystyle{ ...}\)
\(\displaystyle{ a_{inne jakies tam}= (k+r)^p}\)
Co dowodzi tezę.

pog
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 26 lut 2007, o 16:52
Płeć: Mężczyzna

[LIX OM] I etap

Post autor: pog » 11 gru 2007, o 13:04

Sylwek pisze:pog, zadanie 9. masz podobnie do mnie, tylko ja mam trochę krócej , mianowicie gdy \(\displaystyle{ x+y q 2}\), to możemy zapisać \(\displaystyle{ x=n+k}\), \(\displaystyle{ y=n-k}\)
ja po prostu nie robiłem tego podstawienia bo mi się nie chciało, zostawiłem sobie oryginalne zmienne x i y

King James
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 19 kwie 2007, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biłgoraj/Kraków
Pomógł: 39 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: King James » 11 gru 2007, o 13:45

9. gdy x,y,z>=1 nierówność spełniona, przyjmijmy bez straty ogólności że y

jaco1024
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 6 gru 2007, o 04:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Czewa
Pomógł: 3 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: jaco1024 » 11 gru 2007, o 13:52

Jakim cudem funkcję kwadratową skoro tam jest \(\displaystyle{ x^3}\)

Jak już tak myślicie nad innymi metodami udowodnienia tego czegoś, to można to np. zrobić z pochodnej.

Albo udowodnić nie wprost, że z założenia:
\(\displaystyle{ x^3 + y^3 + z^3 < 2 (\frac{x+y}{2})^3 + z^3}\)
\(\displaystyle{ x^3 + y^3 + z^3 < 2 (\frac{y+z}{2})^3 + x^3}\)
\(\displaystyle{ x^3 + y^3 + z^3 < 2 (\frac{z+x}{2})^3 + y^3}\)
Wynika sprzeczność.

King James
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 19 kwie 2007, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biłgoraj/Kraków
Pomógł: 39 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: King James » 11 gru 2007, o 13:59

x^3+y^3+(3-x-y)^3=x^3+y^3+27+(-x)^3+(-y)^3+b=27+b i się skróciły 3 potęgi

soliter
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 195
Rejestracja: 13 paź 2005, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jelenia Góra
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 28 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: soliter » 11 gru 2007, o 15:34

10 - identycznie jak Jaco 2^{10} -> pretekst, by powiedzieć, że King James rządzi ; )

zaudi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 385
Rejestracja: 30 sty 2007, o 17:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 26 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: zaudi » 11 gru 2007, o 17:08

czy jak udowodniłem ze punkty leza na jednym okregu i późnije dodałem komentarz ze katy sa równe to mam szans e na jakis punkt w 11 najlepiej jak bym dostał 2 punkty za kazde z zadan

ODPOWIEDZ