Matematyka.pl

wreszcie uporałem się z ósmym; nie jestem pewien, czy moje rozumowanie jest do końca poprawne, ale jeśli nie wyślę, to się nie przekonam, czy jest już warte 5 pkt, czy tylko 2; no a za tydzien ruszam z 3 serią

Mam pytanie czy można się bezpośrednio powołać na najmocniejsze twierdzenie geometrii w przestrzeni czy trzeba to udowodnic?

Wydaje mi się, że można się powołać bezpośrednio. To jest fakt powszechnie znany.

OK wysłane . Jak można wymyślić terminy na OM i OF jednego dnia? Ale już po wszystkim

OK, zostało jakieś 10 minut, więc zamieszczam szkice moich rozwiązań:

5)
Tu szło łatwo, najpierw tożsamość:
\(\displaystyle{ p^{3}+q^{3}+r^{3}-3pqr=\frac{1}{2}(p+q+r)((p-q)^{2}+(q-r)^{2}+(r-p)^{2})}\) i łatwo zamieniamy warunek z zadania na
\(\displaystyle{ (p+q+r)|pqr}\), czyli mamy ograniczenie \(\displaystyle{ p+q+r=p\vee q\vee r\vee pq\vee pr\vee qr\vee pqr}\) Po chwili namysłu pozostanie nam warunek \(\displaystyle{ p=q=r=3}\) co kończy zadanie

6)
Podstawiam na chama:
\(\displaystyle{ W(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}}\)
do równania w zadaniu.
Rozważam wartości \(\displaystyle{ a_{n}}\)
Jest równe 0 lub 1
Jesli jest równe zero to heja banana, jak jest równe 1 to z równania w zadaniu odejmujemy obustronnie \(\displaystyle{ x^{5n}}\) i wychodzi, że wielomiany mają różne stopnie, czyli wtedy pozostałe współczynniki są równe zero
Jak sie trochę podrasuje nieokrzesane myśli ( ) to łatwo wyjdzie
\(\displaystyle{ W(x)=0 W(x)=x^{k}}\), dla k=0,1,2,...,n

7)
Hmm, co by tu napisać jako szkic.
Rozważałem sobie stopniami, najpierw n mozliwości, potem odejmujemy przewodniczącego i zostaje n-1 możliwości kolejnych, potem odejmujemy kolejnego przewodniczącego i daje nam to n-2 możliwości itd. No i trzeba wspomnieć, że zbiór i wszystkie podzbiory tego co sobie odejmujemy są jednoznacznie wyznaczone, albo coś w tą mańkę

8)
Bierzemy twierdzenie o równości odcinków (to ze stycznymi, nazwa niedawno padła)
Rozpisujemy wszystko "na chama" (równości odcinków dają nam wiele trójkątów równoramiennych). Na koniec ładnie wychodzi, że:
\(\displaystyle{ APB+CPD=BPC+DPA}\), a z tego od razu wychodzi teza zadania
No, to by było na tyle z mojej strony.
Czekamy na komentarze i alternatywne rozwiązania

Co do 5, a gdzie warunek p+q+r=1 , imo też wpadłem na to w ostatniej chwili, ale to raczej bardzo mało ważna usterka.

W 6tym: niech ten wielomian będzie niezerowy, \(\displaystyle{ a_{n} \neq 0}\) oraz przypuśćmy, że \(\displaystyle{ a_{k}}\) jest największym z niezerowych współczynników takich, że n>k. Gdy porównamy współczynniki przy \(\displaystyle{ x^{4n+k}}\) wyjdzie nam \(\displaystyle{ 0=5a_{n}^4a_{k}}\), czyli \(\displaystyle{ a_{k}=0}\), zatem ten wielomian ma postać \(\displaystyle{ a_{n}x^n}\), a to już banał.

7me to typowa opisówka, to sobie daruję pisanie swojego rozwiązania.

8me - korzystam z Najmocniejszego Twierdzenia Geometrii w przestrzeni, znajduję 8 deltoidów, porównuję sumy kątów i wychodzi

Na marginesie, skąd wy wytrzasnęliście tą nazwę? Dziś ją poznałem, ale nigdy wczesniej nie wiedziałem, ze to się może tak nazywać

5. Dokładnie tak samo.
6. To samo.
7. Szkic tak samo. Poprosze całe rozwiązanie, to sie wypowiem:P
8. Inny sposób. Ta suma jest prawdziwa dla każdego okręgu wpisane w czworokąt i trochę dalej potłumaczone.

w sumie te zadania nie były takie trudne na jakie wyglądały.
5. tak samo
6. też.
7. chyba dobrze
8. się nie brałem nawet, jakbym 4/4 miał dobrze, to chyba za dużo

Kurcze z jednego tylko nie jestem zadowolony z zapisu, z 3 serii muszę popracować. jak teraz sobie analizuje to 5 mam ładnie, 6 fatalnie, ale to dlatego że nie sądziłem że tak łatwe będzie, 7 nie chciało mi sie zbytnio tego robić, bo już byłem zmęczony ale coś tam namazałem.
Ja tutaj gadu gadu ale jak poucinają mi punkty to za rok sie już postaram ;]

Widze Sylwek ze masz "Zbior zadan z olimpiad z calego swiata - niebieski:)" Irak rok bodaj 92 czy tam 94:) Tez tak zrobilem.
Zadanie 5
p+q+r=1 ( nie moze zachodzic bo to sa liczby pierwsze, zatem kazda jest naturalna dodatnie i wieksza od 1. chyba ze chodzi ci o cos innego. Ja w piatym tez doszedlem do p+q+r|pqr a potem skoro to liczby pierwsze to otrzymuje (p,p+q+r)=1 lub (p,p+q+r)=p, analogicznie z pozostalymi. Jesli teraz zalozymy ze wszystkie trzy p,q,r sa wzglednie pierwsze z p+q+r to otrzymujemy ze (pqr, p+q+r)=1 ( szczegolowy dowod czegos takiego mozna znalesc w Waclawie Sierpinskim "Teoria liczb" rozdzial pierwszy Twierdzenie 6 ) o ile dobrze pamietam . Pozniej pozostaje ze coanjmniej jedna z liczb musi spelniac drugi przypadek np.
(p,p+q+r)=p. Wtedy p+q+r= k*p. Poniewaz p+q+r| pq+qr+rp to
pk|p(q+r)+qr ( jak ab|c to a|c i b|c ) zatem
p|qr czyli albo q albo r rowna sie p. Zalozmy ze q=p to mamy:
r=(k-2)*p czyli k-2=1 i r=p=q lub p=1 i k-2=r ( nie zachodzi bo p jest pierwsza )
no i to juz koniec bo 3p|p^3 => p=q=r=3
Zadanie 7 Bardzo podobnie.
Zadanie 8 ech szkoda gadac:)

5.standardowo
6.troche inaczej - tez dochodze do sprzecznosci przy pewnym wyrazie
7.n!
8. najmocniejsze twierdzenie geometrii

5.jak wyżej
6. W(x)= x^n + Q(x), bo a(n)=0 v 1
W(x^2)*W(x^3)= x^5n + G(x)
(W(x))^5= x^5n + H(x)
stopień wielomianu G(x) jest zawsze mniejszy niż H(x) stąd G(x)=H(x)=0
7.jak można było dać na OM takie zadanie
8.środek kuli wpisanej do ostrosłupa rzutujemy na każdą sciane i bezczelnie przeliczamy kąty

Pozdro

P.S. Czy Najmocniejsze twierdzenie coś tam coś tam to jest to twierdzenie które każdy zna tylko każdy ma na nie inną nazwe?

1 nie jest liczba pierwsza...
a co powiecie na taka trojke liczb pierwszych: 59 3049 4201 :> jesli sie nie pomylilem to tez pasuje

djstrong pisze:a co powiecie na taka trojke liczb pierwszych: 59 3049 4201 :> jesli sie nie pomylilem to tez pasuje

Pomyliłeś się... my mamy DOWÓD, że jedyną taką trójką jest (3, 3, 3).

HawaT pisze:p+q+r=1 ( nie moze zachodzic bo to sa liczby pierwsze, zatem kazda jest naturalna dodatnie i wieksza od 1.

No ale to trzeba napisać , wiem, że oczywiste i raczej mało istotne.

Menda pisze:P.S. Czy Najmocniejsze twierdzenie coś tam coś tam to jest to twierdzenie które każdy zna tylko każdy ma na nie inną nazwe?

W Google można to znaleźć pod "Najmocniejsze Twierdzenie Geometrii".


Ale to już przeszłość , teraz jest trzecia seria, z której dziś na polskim i religii napisałem dowód na zadanie 9, a na historii prawie udowodniłem tezę w zadaniu 11

5 tak samo jak wszyscy
6. pokazuje ze wielomian nie ma pierwiastkow, zespolonych takze (bez 0)
7 duzo opisywania
8. najmocniejsze twierdzenie geometrii no i przystawanie odpowiednich trojkatow