[LIX OM] I etap

Dla wtajemniczonych;) Największa impreza dla matematyków poniżej studiów, czyli Olimpiada Matematyczna oraz Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów.
Awatar użytkownika
dabros
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1121
Rejestracja: 2 cze 2006, o 21:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 4 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: dabros » 11 lis 2007, o 22:40

wreszcie uporałem się z ósmym; nie jestem pewien, czy moje rozumowanie jest do końca poprawne, ale jeśli nie wyślę, to się nie przekonam, czy jest już warte 5 pkt, czy tylko 2; no a za tydzien ruszam z 3 serią
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

lumatt1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 29 gru 2006, o 20:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

[LIX OM] I etap

Post autor: lumatt1990 » 12 lis 2007, o 16:21

Mam pytanie czy można się bezpośrednio powołać na najmocniejsze twierdzenie geometrii w przestrzeni czy trzeba to udowodnic?

mdz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 7 paź 2007, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 8 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: mdz » 12 lis 2007, o 16:43

Wydaje mi się, że można się powołać bezpośrednio. To jest fakt powszechnie znany.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: Sylwek » 12 lis 2007, o 18:43

OK wysłane . Jak można wymyślić terminy na OM i OF jednego dnia? Ale już po wszystkim

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: Piotr Rutkowski » 12 lis 2007, o 23:49

OK, zostało jakieś 10 minut, więc zamieszczam szkice moich rozwiązań:

5)
Tu szło łatwo, najpierw tożsamość:
\(\displaystyle{ p^{3}+q^{3}+r^{3}-3pqr=\frac{1}{2}(p+q+r)((p-q)^{2}+(q-r)^{2}+(r-p)^{2})}\) i łatwo zamieniamy warunek z zadania na
\(\displaystyle{ (p+q+r)|pqr}\), czyli mamy ograniczenie \(\displaystyle{ p+q+r=p\vee q\vee r\vee pq\vee pr\vee qr\vee pqr}\) Po chwili namysłu pozostanie nam warunek \(\displaystyle{ p=q=r=3}\) co kończy zadanie

6)
Podstawiam na chama:
\(\displaystyle{ W(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}}\)
do równania w zadaniu.
Rozważam wartości \(\displaystyle{ a_{n}}\)
Jest równe 0 lub 1
Jesli jest równe zero to heja banana, jak jest równe 1 to z równania w zadaniu odejmujemy obustronnie \(\displaystyle{ x^{5n}}\) i wychodzi, że wielomiany mają różne stopnie, czyli wtedy pozostałe współczynniki są równe zero
Jak sie trochę podrasuje nieokrzesane myśli ( ) to łatwo wyjdzie
\(\displaystyle{ W(x)=0 W(x)=x^{k}}\), dla k=0,1,2,...,n

7)
Hmm, co by tu napisać jako szkic.
Rozważałem sobie stopniami, najpierw n mozliwości, potem odejmujemy przewodniczącego i zostaje n-1 możliwości kolejnych, potem odejmujemy kolejnego przewodniczącego i daje nam to n-2 możliwości itd. No i trzeba wspomnieć, że zbiór i wszystkie podzbiory tego co sobie odejmujemy są jednoznacznie wyznaczone, albo coś w tą mańkę

8)
Bierzemy twierdzenie o równości odcinków (to ze stycznymi, nazwa niedawno padła)
Rozpisujemy wszystko "na chama" (równości odcinków dają nam wiele trójkątów równoramiennych). Na koniec ładnie wychodzi, że:
\(\displaystyle{ APB+CPD=BPC+DPA}\), a z tego od razu wychodzi teza zadania
No, to by było na tyle z mojej strony.
Czekamy na komentarze i alternatywne rozwiązania

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: Sylwek » 13 lis 2007, o 00:00

Co do 5, a gdzie warunek p+q+r=1 :D , imo też wpadłem na to w ostatniej chwili, ale to raczej bardzo mało ważna usterka.

W 6tym: niech ten wielomian będzie niezerowy, \(\displaystyle{ a_{n} \neq 0}\) oraz przypuśćmy, że \(\displaystyle{ a_{k}}\) jest największym z niezerowych współczynników takich, że n>k. Gdy porównamy współczynniki przy \(\displaystyle{ x^{4n+k}}\) wyjdzie nam \(\displaystyle{ 0=5a_{n}^4a_{k}}\), czyli \(\displaystyle{ a_{k}=0}\), zatem ten wielomian ma postać \(\displaystyle{ a_{n}x^n}\), a to już banał.

7me to typowa opisówka, to sobie daruję pisanie swojego rozwiązania.

8me - korzystam z Najmocniejszego Twierdzenia Geometrii w przestrzeni, znajduję 8 deltoidów, porównuję sumy kątów i wychodzi

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: Piotr Rutkowski » 13 lis 2007, o 00:04

Na marginesie, skąd wy wytrzasnęliście tą nazwę? Dziś ją poznałem, ale nigdy wczesniej nie wiedziałem, ze to się może tak nazywać

Malina015
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 8 paź 2007, o 19:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: stąd
Pomógł: 6 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: Malina015 » 13 lis 2007, o 00:09

5. Dokładnie tak samo.
6. To samo.
7. Szkic tak samo. Poprosze całe rozwiązanie, to sie wypowiem:P
8. Inny sposób. Ta suma jest prawdziwa dla każdego okręgu wpisane w czworokąt i trochę dalej potłumaczone.

niewiadomo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 119
Rejestracja: 17 paź 2006, o 17:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z nikąd
Podziękował: 7 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: niewiadomo » 13 lis 2007, o 00:17

w sumie te zadania nie były takie trudne na jakie wyglądały.
5. tak samo
6. też.
7. chyba dobrze
8. się nie brałem nawet, jakbym 4/4 miał dobrze, to chyba za dużo

Kurcze z jednego tylko nie jestem zadowolony z zapisu, z 3 serii muszę popracować. jak teraz sobie analizuje to 5 mam ładnie, 6 fatalnie, ale to dlatego że nie sądziłem że tak łatwe będzie, 7 nie chciało mi sie zbytnio tego robić, bo już byłem zmęczony ale coś tam namazałem.
Ja tutaj gadu gadu ale jak poucinają mi punkty to za rok sie już postaram ;]

HawaT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 23 paź 2006, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock

[LIX OM] I etap

Post autor: HawaT » 13 lis 2007, o 02:09

Widze Sylwek ze masz "Zbior zadan z olimpiad z calego swiata - niebieski:)" Irak rok bodaj 92 czy tam 94:) Tez tak zrobilem.
Zadanie 5
p+q+r=1 ( nie moze zachodzic bo to sa liczby pierwsze, zatem kazda jest naturalna dodatnie i wieksza od 1. chyba ze chodzi ci o cos innego. Ja w piatym tez doszedlem do p+q+r|pqr a potem skoro to liczby pierwsze to otrzymuje (p,p+q+r)=1 lub (p,p+q+r)=p, analogicznie z pozostalymi. Jesli teraz zalozymy ze wszystkie trzy p,q,r sa wzglednie pierwsze z p+q+r to otrzymujemy ze (pqr, p+q+r)=1 ( szczegolowy dowod czegos takiego mozna znalesc w Waclawie Sierpinskim "Teoria liczb" rozdzial pierwszy Twierdzenie 6 ) o ile dobrze pamietam :P. Pozniej pozostaje ze coanjmniej jedna z liczb musi spelniac drugi przypadek np.
(p,p+q+r)=p. Wtedy p+q+r= k*p. Poniewaz p+q+r| pq+qr+rp to
pk|p(q+r)+qr ( jak ab|c to a|c i b|c ) zatem
p|qr czyli albo q albo r rowna sie p. Zalozmy ze q=p to mamy:
r=(k-2)*p czyli k-2=1 i r=p=q lub p=1 i k-2=r ( nie zachodzi bo p jest pierwsza )
no i to juz koniec bo 3p|p^3 => p=q=r=3
Zadanie 7 Bardzo podobnie.
Zadanie 8 ech szkoda gadac:)

Gierol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 12 lis 2006, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrowiec św.
Pomógł: 5 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: Gierol » 13 lis 2007, o 09:57

5.standardowo
6.troche inaczej - tez dochodze do sprzecznosci przy pewnym wyrazie
7.n!
8. najmocniejsze twierdzenie geometrii

Awatar użytkownika
Menda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 13 wrz 2007, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 4 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: Menda » 13 lis 2007, o 10:22

5.jak wyżej
6. W(x)= x^n + Q(x), bo a(n)=0 v 1
W(x^2)*W(x^3)= x^5n + G(x)
(W(x))^5= x^5n + H(x)
stopień wielomianu G(x) jest zawsze mniejszy niż H(x) stąd G(x)=H(x)=0
7.jak można było dać na OM takie zadanie
8.środek kuli wpisanej do ostrosłupa rzutujemy na każdą sciane i bezczelnie przeliczamy kąty

Pozdro

P.S. Czy Najmocniejsze twierdzenie coś tam coś tam to jest to twierdzenie które każdy zna tylko każdy ma na nie inną nazwe?

djstrong
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 27 lut 2005, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: J-bie

[LIX OM] I etap

Post autor: djstrong » 13 lis 2007, o 15:25

1 nie jest liczba pierwsza...
a co powiecie na taka trojke liczb pierwszych: 59 3049 4201 :> jesli sie nie pomylilem to tez pasuje

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: Sylwek » 13 lis 2007, o 15:53

djstrong pisze:a co powiecie na taka trojke liczb pierwszych: 59 3049 4201 :> jesli sie nie pomylilem to tez pasuje
Pomyliłeś się... my mamy DOWÓD, że jedyną taką trójką jest (3, 3, 3).
HawaT pisze:p+q+r=1 ( nie moze zachodzic bo to sa liczby pierwsze, zatem kazda jest naturalna dodatnie i wieksza od 1.
No ale to trzeba napisać , wiem, że oczywiste i raczej mało istotne.
Menda pisze:P.S. Czy Najmocniejsze twierdzenie coś tam coś tam to jest to twierdzenie które każdy zna tylko każdy ma na nie inną nazwe?
W Google można to znaleźć pod "Najmocniejsze Twierdzenie Geometrii".


Ale to już przeszłość , teraz jest trzecia seria, z której dziś na polskim i religii napisałem dowód na zadanie 9, a na historii prawie udowodniłem tezę w zadaniu 11

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: przemk20 » 13 lis 2007, o 16:21


5 tak samo jak wszyscy
6. pokazuje ze wielomian nie ma pierwiastkow, zespolonych takze (bez 0)
7 duzo opisywania
8. najmocniejsze twierdzenie geometrii no i przystawanie odpowiednich trojkatow

ODPOWIEDZ