[LIX OM] I etap

Dla wtajemniczonych;) Największa impreza dla matematyków poniżej studiów, czyli Olimpiada Matematyczna oraz Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów.
Zanio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 10 wrz 2006, o 00:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łomża
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 2 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: Zanio » 9 paź 2007, o 17:59

6 zalozen typu
x>=y>=z ... itd.

jest poprawne ?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

MarcinT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 23 kwie 2006, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Otyń/Zielona Góra
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 4 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: MarcinT » 9 paź 2007, o 18:02

można powiedzieć że x jest największe bo układ jest CYKLICZNY i jestes w stanie pozamieniac tak literki zeby zawsze wyszło x=max natomiast nie mozesz pozamieniac literek tak żeby wyszło zawsze x>y>z

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: Piotr Rutkowski » 9 paź 2007, o 18:03

Przedstawiam tu dowód, który uważam za poprawny.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ x>y>z}\) wtedy także \(\displaystyle{ x^{2k+1}>y^{2k+1}>z^{2k+1}}\) przekształcamy do postaci żebyśmy mieli \(\displaystyle{ x^{3}}\) po jednej stronie.
Dalej:
\(\displaystyle{ 5x^{3}>5y^{3}>5z^{3}}\) podstawiając z równania:
\(\displaystyle{ z^{5}+4y>x^{5}+4z>y^{5}+4x}\) rozpatrując skrajne nierówności otrzymujemy sprzeczność z założeniem
dla innych przypadków tego samego typu dowód jest analogiczny co kończy zadanie

EDIT:Post nr 666

mdz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 7 paź 2007, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 8 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: mdz » 9 paź 2007, o 18:06

Tak jak pisałem wcześniej, jeżeli chcemy ustalić relacje mniejszości pomiędzy wszystkimi spośród x,y,z to mamy do rozpatrzenia 2 przypadki.

MarcinT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 23 kwie 2006, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Otyń/Zielona Góra
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 4 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: MarcinT » 9 paź 2007, o 18:11

dokładnie. Nie można jednak napisać że bez straty ogólności zakładamy x>y>z ! bo to błąd.

mdz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 7 paź 2007, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 8 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: mdz » 9 paź 2007, o 18:15

Dokładnie o to mi chodziło. Pojawia się pytanie, czy jeżeli ktoś tak zrobił to czy dostanie jakiekolwiek punkty za to zadanie.

MarcinT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 23 kwie 2006, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Otyń/Zielona Góra
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 4 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: MarcinT » 9 paź 2007, o 18:19

hm a dowodziliscie x>y wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x^{3}>y^{3}}\) ? Bo ja wykazalem dla trójki i że dla 5 przez analogie.

a czy dostanie punkty? cieżko powiedzieć. pewnie 2.

Awatar użytkownika
Menda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 13 wrz 2007, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 4 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: Menda » 9 paź 2007, o 18:48

Zakładacie z=max(x,y,z) bez straty ogólności bo układ jest cykliczny.
Odejmujecie dwa pierwsze równania od siebie i mamy:
x^5 - y^5 = 5( y^3 - z^3) + 4( x - z) =

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: liu » 9 paź 2007, o 18:53

MarcinT pisze:hm a dowodziliscie x>y wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x^{3}>y^{3}}\) ? Bo ja wykazalem dla trójki i że dla 5 przez analogie.

a czy dostanie punkty? cieżko powiedzieć. pewnie 2.
No juz bez zartow, fakt, ze funkcja \(\displaystyle{ \mathbb{R}\ni x \mapsto x^3}\) jest scisle monotoniczna to jest w szkole:)

Lewy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 24 sty 2007, o 20:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Pomógł: 1 raz

[LIX OM] I etap

Post autor: Lewy » 9 paź 2007, o 19:40

przemk20 pisze::arrow: A zrobil ktos 4 tak ze liczyl bezposrednio S(n), nie badajac roznicy S(n)- S(n-1), bo wlasnie jak tak mam, a co do drugiej serii to trzeba tylko przepisac na czysto.... :wink:

ja tak zrobiłem. wyszedł jakiś piekielny wzór, ale prawie wszystko sie wyzerowało oprócz właściwego wyniku(dokładnie nie pamiętam, bo robiłem to 3 dni po ukazaniu się zadań, ale chyba się pojawiło coś typu \(\displaystyle{ (1-1)^n=0}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\)

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: przemk20 » 9 paź 2007, o 20:35

To mam takie samo roawiazanie jak ty. Ale widze ze juz zadanie pierwsze mam zle

MarcinT
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 175
Rejestracja: 23 kwie 2006, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Otyń/Zielona Góra
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 4 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: MarcinT » 9 paź 2007, o 21:00

liu: faktycznie masz racje. ale natchneło mnie coś zeby to udowodnic...

co do czwartego to bardzo krotkie rozwiazanie. Wystarczy zauwazyc, że:

\(\displaystyle{ w(A)+w(A \cup n)=n}\) dla kazdego A ktory jest niepustym podzbiorem
Ostatnio zmieniony 9 paź 2007, o 21:02 przez MarcinT, łącznie zmieniany 2 razy.

dj3500
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 9 paź 2007, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

[LIX OM] I etap

Post autor: dj3500 » 9 paź 2007, o 21:01

witam i pozdrawiam wszystkich, oto i moje rozwiązania

dj3500 dot dyndns dot org / rozw / 1.pdf
dj3500 dot dyndns dot org / rozw / 2.pdf
dj3500 dot dyndns dot org / rozw / 3n.pdf
dj3500 dot dyndns dot org / rozw / 4.pdf

(linki poszatkowane bo jest widzę filtr dla nowych użytkowników )

zaudi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 385
Rejestracja: 30 sty 2007, o 17:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 26 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: zaudi » 9 paź 2007, o 21:04

Ja nie mam zadania drugiego po wielu wskazówkach nie doszedłem do jego rozwiązania liczę na to, ze uda mi się zrobić 3 zadania z drugiej serii i dwa z trzeciej. Czy dużo osób bierze udział w OM z Łodzi??

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

[LIX OM] I etap

Post autor: Piotr Rutkowski » 9 paź 2007, o 21:09

Może i bierze, ale próg nie jest wysoki (6 góra 7 pełnych zadań). Myślę, że mając ze 40 pkt. możesz być już wyluzowany. Poza tym, z Łodzi to startują prawdopodobnie w większości osoby z mojego liceum, a reszta to głównie spoza Łodzi.

ODPOWIEDZ