Liniowość wartości oczekiwanej.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Liniowość wartości oczekiwanej.

Post autor: Emiel Regis » 31 sie 2007, o 21:46

Jeśli istnieją wartości oczekiwane X oraz Y to zachodzi nastepująca własność:
\(\displaystyle{ Z=aX+bY}\)
\(\displaystyle{ EZ=aEX+bEY}\)
Jest ona dość oczywista biorąc pod uwagę że wartość oczekiwana to jest całka (ew. suma) a całka jest odwzorowaniem liniowym. Jednak chciałbym aby ktoś ją formalnie udowodnił.

\(\displaystyle{ P=aEX+bEY=a t_R xf_X(x)dx+b t_R yf_Y(y)dy}\)
\(\displaystyle{ L=EZ=\int_R zf_Z(z)dz}\)
No i teraz zapewne by wypadało rozpisać dalej stronę lewą aby dojść do prawej, tylko ze nie znamy gęstości rozkładu sumy... no i nie wiem co dalej zrobić.


[edit]
Jeśli by kogoś ciekawiło to zrobiłem to ostatecznie z ogólniejszej definicji:

\(\displaystyle{ E(aX+bY)=\int_{\Omega}(aX+bY)dP=a\int_{\Omega}XdP+b\int_{\Omega}YdP = aEX+bEY}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ