Kombinatoryczna układanka

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
Ivenesco
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 18 lut 2007, o 11:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 6 razy

Kombinatoryczna układanka

Post autor: Ivenesco » 31 sie 2007, o 18:39

zad
Układankę złożoną z 12 jednakowych prostokątów można ułożyć na 12! sposobów, z których tylko jeden jest właściwy. Ile z tych ułożeń ma:
a) dokładnie 2 elementy ułożone niewłaściwie;
b) Dokładnie 3 elementy ułożone niewłaściwie?

a) Próbowałem to zrobić tak:
Na ile sposobów mogę wybrać 2 elementy z tej układanki:
\(\displaystyle{ {12\choose 2} = 66}\)
Jak AB jest właściwe to BA będzie niewłaciwe
Więc 2 będą ułożone niewłaściwie, jeśli którekolwiek z tych zamienię miejscami ze sobą, więc odp. powinna być 66, jedank w odpowiedziach jest napisane, że 132...

b)Analogicznie:
\(\displaystyle{ {12\choose 3} = 132}\)
Jednak tutaj mogę je pomieszać na różne sposoby między sobą:
jak ABC jest właściwie, to niewłaściwe będą:
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Więc mój wynik to 132 * 5 = 660
A w opdowiedziach jest 440...

[edit]
b) Jeśli wszystkie 3 mają być na innym miejscu, to jednak nieco inaczej:
ABC -> prawidłowe
BCA -> nieprawidłowe
CAB -> nieprawidłowe
W reszcie będzie zamiana tylko na 2 miejscach.
Więc wyjdzie 132 * 2 = 264... Nadal chyba źle, tylko nie wiem dlaczego...
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Kombinatoryczna układanka

Post autor: max » 1 wrz 2007, o 18:39

\(\displaystyle{ {12\choose 3} = 220}\)

Awatar użytkownika
Ivenesco
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 18 lut 2007, o 11:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 6 razy

Kombinatoryczna układanka

Post autor: Ivenesco » 1 wrz 2007, o 19:04

Ha ha :razz:
Taki głupi błąd. I się okazało, że wszystko dobrze :wink:
2 * 220 = 440 -> i jest wynik.
A w a) to się chyba w odpowiedziach pomylili? Czy znów jakiś mój błąd?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Kombinatoryczna układanka

Post autor: max » 1 wrz 2007, o 20:52

Twoje rozumowanie jest poprawne.

Awatar użytkownika
Ivenesco
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 18 lut 2007, o 11:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 6 razy

Kombinatoryczna układanka

Post autor: Ivenesco » 1 wrz 2007, o 21:21

Ok, dzięki za sprawdzenie

ODPOWIEDZ