Matematyka.pl

Witam.
Mam problem z zadaniem. Należy znaleźć wartości parametru p, dla których wektory tworzą bazę.

\(\displaystyle{ B=\left\{x ^{2}+px+1; x+p; px ^{2}+x+1 \right\} R _{2}[x]}}\)

Korzystam z warunku na bazę, sprawdzam niezależność zakładając, że:

\(\displaystyle{ \alpha _{1} (x ^{2}+px+1)+ \alpha _{2}(x+p)+ \alpha _{3}(px ^{2}+x+1)=0}\)

wynika z tego, że:

\(\displaystyle{ (\alpha _{1}+p\alpha _{3})x ^{2}+(p\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})x+\alpha _{1}+\alpha _{2}p+\alpha _{3}=0}\)

i nie wiem co dalej? Robić układ równań ze wszystkiego i równać do zera?

Dodatkowo mam pytanie, czy jeśli dwa wektory są liniowo niezależne to na pewno są bazą w \(\displaystyle{ R ^{2}}\)? Analogicznie trzy dla \(\displaystyle{ R ^{3}}\) itd. ?

i nie wiem co dalej? Robić układ równań ze wszystkiego i równać do zera?

Chcesz, aby z tego, że kombinacja liniowa tych wektorów jest zerowa wynikało, że każdy skalar jest zerowy, tj. żądasz by
\(\displaystyle{ \alpha _{1} (x ^{2}+px+1)+ \alpha _{2}(x+p)+ \alpha _{3}(px ^{2}+x+1)=0 \Rightarrow \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0}\)
Zatem bierzesz taki układ równań (to dobrze zacząłeś):
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha_{1}+p\alpha_{3}=0 \\p\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}=0\\ \alpha_{1}+p\alpha_{2}+\alpha_{3}=0 \end{cases}}\)
i to jest układ trzech równań z parametrem \(\displaystyle{ p}\). Sprawdzasz, dla jakich wartości \(\displaystyle{ p}\) jedynym rozwiązaniem tego układu równań jest trójka \(\displaystyle{ (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})=(0,0,0)}\)

Dodatkowo mam pytanie, czy jeśli dwa wektory są liniowo niezależne to na pewno są bazą w \(\displaystyle{ R ^{2}}\)? Analogicznie trzy dla \(\displaystyle{ R ^{3}}\) itd. ?

Tak.

Wg moich obliczeń wynik powinien wyjść:

\(\displaystyle{ p \neq 1}\)
\(\displaystyle{ p \neq \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}}\)
\(\displaystyle{ p \neq \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}\)

Ostatnie równanie z których wynikają te odpowiedzi to:

\(\displaystyle{ \alpha _{3}\left( p^{3}-2p+1 \right)=0}\)

Z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ p^{3}-2p+1 \neq 0}\)