Matematyka.pl

Mam pytanie, zdaję się, że dość proste, ale nie potrafię sobie z tym poradzić. Chcę pokazać, że jeżeli \(\displaystyle{ x_n}\) jest ciągiem Cauchy'ego to \(\displaystyle{ c \cdot x_n}\) również jest ciągiem Cauchy'ego. Potrzebne mi do zastosowania przy paru twierdzeniach w liczbach p-adycznych.

Wystarczy zauważyć, że dla \(\displaystyle{ c=0}\) teza jest prawdziwa w sposób natychmiastowy.
Dla \(\displaystyle{ c\ne 0}\) weźmy dowolne \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Z założenia, że \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest ciągiem Cauchy'ego, wynika istnienie takiej liczby \(\displaystyle{ N\in\NN}\), że \(\displaystyle{ |x_k-x_m|<\frac{\varepsilon}{|c|}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ k>N, m>N}\).
Łatwo stąd wywnioskować prawdziwość tezy dla ciągu o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ y_n=c\cdot x_n}\).

Kurde, jakoś o takiej drobnostce, jak wzięcie modułu z c, nie pomyślałem, a to załatwia też ujemne. Dzięki wielkie za pomoc!

Pozdrawiam.