równania rózniczkowe zad z treścia

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
janusz666666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 31 sie 2007, o 16:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: rpa

równania rózniczkowe zad z treścia

Post autor: janusz666666 » 31 sie 2007, o 16:18

Zad1
Masa rakiety z paliwem równa jest M, bez paliwa-m.Predkosc z która wylatuja z rakiety produkty spalania równa jest w( wzgledem rakiety), predkosc poczatkowa rakiety równa jest V0.Znaleźć predkosc rakiety po spaleniu całego paliwa.Zakładamy ze rakieta porusza sie w prózni zdala od caił niebieskich ( wiec nie bierzemy pod uwage zadnych sił poza siła odrzutu) wskazówka: skorzystac z zasady zachowania pedu w celu wyprowadzenia równania, które spełnia zmieniajaca sie w czasie predkosc rakiety, i wziasc to pod uwage ze w wyniku spalania paliwa masa ulega zmianie.

Zad 2
Duzy garnek swiezo ugotowanej wody o temp 100 st celc. chłodzony w biezacej wodzie o temp 5 stopni; zupa jest mieszana wiec mozna przyjac ze jej temp jest taka sama we wszystkich czesciach garnka. W ciagu 10 min temp zupy została obnizona do 60 stopni.w jakim czasie garnek ostygnie do 20 stopni? Wiadomo ze obowiazuje prawo stygniecia Newtona"szybkosc zmniejszania sie temp układu jest proporcjonalna do róznicy temperatur pomiedzy układem a otoczeniem"


bardzo prosze o pomoc. jedno z tych zadan moge miec na poprawce..sa to zadania z 1 roku na Chemi
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

równania rózniczkowe zad z treścia

Post autor: luka52 » 31 sie 2007, o 17:01

ad 2.
\(\displaystyle{ T(t)}\) - temp. zupy w zależności od czasu, oczywiście T(0) = 100°C
\(\displaystyle{ T_0 = 5^{\circ}C}\) - temp. bieżącej wody.
Ponieważ szybkość stygnięcia jest proporcjonalna do różnicy temperatur pomiędzy zupą a bieżącą wodą, możemy to zapisać tako:
\(\displaystyle{ \frac{dT}{dt} = k (T - T_0)}\)
gdzie k to współczynnik proporcjonalności.
W celu rozwiązania tego równania, rozdzielamy zmienne i całkujemy obustronnie:
\(\displaystyle{ \frac{dT}{T- T_0} = k \, dt\\
\ln |T - T_0| = kt + C\\
T(t) = C_1 e^{kt} + T_0}\)

Z warunków początkowych wyliczamy stałą:
\(\displaystyle{ T(0) = 100 \iff 100 = C_1 + 5 \iff C_1 = 95}\)
\(\displaystyle{ T(10) = 60 \iff 60 = 95 e^{10 k} + 5 \iff k = - \frac{1}{10} \ln \frac{19}{11}}\)
Stąd możemy już wyliczyć, że woda zupa ochłodzi się do żądanej temp. po ok. 34 minutach.

janusz666666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 31 sie 2007, o 16:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: rpa

równania rózniczkowe zad z treścia

Post autor: janusz666666 » 31 sie 2007, o 17:49

dzieki wielkie, bardziej sie obawiam tego pierwszego bo to drugie było juz na kolosie

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

równania rózniczkowe zad z treścia

Post autor: luka52 » 31 sie 2007, o 19:46

ad 1.
Niech m(t) oznacza masę rakiety w dowolnej chwili, a v(t) jej prędkość w dowolnej chwili t.
Wypadkowa sił działających na rakietę wynosi 0, zatem:
\(\displaystyle{ m \frac{\mbox{d}v}{\mbox{d}t} = - w \frac{\mbox{d}m}{\mbox{d}t}}\)
Znak - występuje gdyż rzutujemy wszystkie prędkości na kierunek wektora prędkości rakiety.
Stąd otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \mbox{d}v = - w \frac{\mbox{d}m}{m}\\
v = - w \ln | m | + C}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ v(M) = v_0}\) możemy wyznaczyć stałą C:
\(\displaystyle{ v(M) = v_0 \iff - w \ln M + C = v_0 \iff C = v_0 + w \ln |M|}\)
Znając stałą możemy wyliczyć v(m):
\(\displaystyle{ v(m) = - w \ln |m| + v_0 + w \ln |M| \iff v(m) = v_0 + \ln \frac{M}{m}}\)

janusz666666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 31 sie 2007, o 16:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: rpa

równania rózniczkowe zad z treścia

Post autor: janusz666666 » 2 wrz 2007, o 11:55

Mozesz dalej rozpisac jak wyszło 34 min?

zad 3
w pojemniku o pojemnosci 20 l znajduje sie 80% azotu i 20% tlenu.do pojemnika wpompowywany jest azot z V=0.1 l/s który sie miesza z mieszanina. Z taka sama szybkoscia jest wypompowywana mieszanina.Po jakim czasie w pojemniku bedzie 99% azotu?

ODPOWIEDZ